Lehekülje Ringjoon lähteteksti vaatamine

{{See artikkel| räägib matemaatika mõistest; koreograafia mõiste kohta vaata artiklit [[Ringjoon (tants)]]}}
[[Pilt:Circle and its center.svg|pisi|Ringjoon ja selle keskpunkt]]
[[Pilt:KreisMittelpunktRadius.svg|pisi|Ringjoon keskpunktiga ''M'' ja raadiusega ''r'']]
'''Ringjooneks''' (üldkeeles ka ''ringiks'') nimetatakse [[elementaargeomeetria]]s [[tasand]]i antud [[punkt (matemaatika)|punkt]]ist (ringjoone [[keskpunkt]]ist) kindlal (tavaliselt) [[positiivne arv|positiivsel]]<ref name="TvCz2" /> [[kaugus]]el olevate selle tasandi punktide [[hulk]]a. Seda kaugust nimetatakse ringjoone [[raadius]]eks (tähis ''r''). (Raadiuseks nimetatakse ka [[sirglõik]]u, mis ühendab ringjoone keskpunkti ringjoone mõne punktiga.

Ringjoon on üks [[tasandiline kujund|tasandilistest kujunditest]], üks [[eukleidiline geomeetria|eukleidilise geomeetria]] klassikalisi [[matemaatiline objekt|objekte]].

==Ringjoonega seotud mõisteid==
===Ring===
{{vaata|Ring}}
Matemaatikas eristatakse ringjoont [[ring]]ist: ring on tasandi osa, mida ringjoon piirab. Ringjoon on [[joon]], ring on [[pind]]. Ringiks nimetatakse tavaliselt kujundit, mis sisaldab ka ümbritsevat ringjoont. Seda nimetatakse ka kinniseks ringiks. Kui see ringjoon välja jätta, saadakse [[lahtine ring]].

=== Kaar, kõõl ja diameeter ===
{{vaata|Kaar}}
{{vaata|Kõõl}}
{{vaata|Diameeter}}

Ringjoone [[sidus hulk|sidusat hulka]], mis ei ole punkt, nimetatakse ringjoone [[kaar]]eks.

[[Sirglõik]]u, mis ühendab ringjoone kaht eri punkti, nimetatakse ringjoone [[kõõl]]uks.

Iga kõõlu juurde kuulub kaks kaart.

Kõige [[Pikkus (matemaatika)|pikemad]] kõõlud on need, mis läbivad ringjoone keskpunkti. Nende juurde kuuluvaid kaari nimetatakse [[poolringjoon]]teks. Kui kõõl ei ole diameeter, siis on kõõlu juurde kuuluvad kaared eri pikkusega.

=== Puutuja ja lõikaja ===
{{vaata|Puutuja}}
{{vaata|Lõikaja}}

Kui ringjoone kaugus sama tasandi [[sirge]]st on ringjoone raadiusest väiksem, siis on ringjoonel ja sirgel kaks eri [[lõikepunkt]]i ning seda sirget nimetatakse selle ringjoone [[lõikaja]]ks.

Kui ringjoone keskpunkti kaugus sirgest [[võrdus|võrdub]] ringjoone raadiusega, siis on ringjoonel ja sirgel parajasti üks ühine punkt ([[puutepunkt]]). Sel juhul nimetatakse seda sirget selle ringjoone puutujaks. Puutuja asetseb puutepunktini ulatuva raadiusega [[ristumine|risti]].

== Formaalne definitsioon ==
[[Pilt:Kreis.svg|pisi|Ringjoon keskpunktiga <math>M</math>, raadiusega <math>r</math> ja diameetriga <math>d</math>]]
Tasandil <math>E</math> on ringjoon <math>k</math> keskpunktiga <math>\mathrm{M} \in E</math> ja raadiusega <math>r > 0</math> [[punktihulk]]
:<math>k = \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} = r \right\},</math><ref name="tBmkv" />

kus raadius <math>r</math> on positiivne [[reaalarv]] ning <math>\overline{\mathrm{MX}}</math> on sirglõigu <math>\mathrm{MX}</math> pikkus.

Kahekordset raadiust nimetatakse [[diameeter|diameetriks]] ja seda tähistatakse sageli <math>d</math>. Raadius <math>r</math> ja diameeter <math>d</math> on omavahel seotud seostega <math>d = 2r</math> ja <math>r = d/2</math>.

Tavaliselt nimetatakse ka iga sirglõiku, mis ühendab ringjoone keskpunkti ringjoone mõne punktiga, ringjoone raadiuseks, ja iga sirglõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab kaht ringjoone punkti, ringjoone diameetriks. Siis on arv <math>r</math> iga raadiuse pikkus ja arv <math>d</math> iga diameetri pikkus.

==Ringjoone võrrandid==
[[Analüütiline geomeetria|Analüütilises geomeetrias]] kujutatakse geomeetrilisi objekte [[võrrand]]ite abil. Tasandi punkte esitatakse [[Cartesiuse ristkoordinaadid|Cartesiuse ristkoordinaatide]] <math>(x; y)</math> abil ning ringjoon on siis kõigi nende punktide hulk, mille koordinaadid on võrrandi [[lahend]].

=== Koordinaatvõrrand ===
Punkti <math>\mathrm{X} = (x; y)</math> kaugus punktist <math>\mathrm{M} = (a; b)</math> [[eukleidiline meetrika|eukleidilises meetrikas]] on 
:<math>\overline{\rm XM} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.</math>

Võttes defineeriva võrrandi <math>\overline{\rm XM} = r</math> pooled [[ruut (algebra)|ruut]]u, saama [[koordinaatvõrrand]]i saame keskpunkti <math>\mathrm{M} = (a; b)</math> ja raadiuse <math>r</math> korral ringjoone punktide <math>(x; y)</math> võrrandiks 
:<math>\left(x-a\right)^2 + \left(y-b\right)^2 = r^2.</math>

Seda võrrandit nimetatakse ka '''ringjoone kanooniliseks võrrandiks'''<ref name="83DDn" />.

Selle võrrandi saab teisendada kujule:
:<math>x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0,</math>

kus

:<math>A = -2a</math>, &nbsp;<math>B = -2b</math>&nbsp; ja &nbsp;<math>C = a^2 + b^2 - r^2</math>.

Kui ringjoone keskpunkt on [[koordinaatide alguspunkt]], siis omandab ringjoone võrrand kuju 
:<math>x^2+y^2=r^2, </math>

mis tuleneb otseselt [[Pythagorase teoreem]]ist. Tähtis erijuht on [[ühikringjoon]]e koordinaatvõrrand
:<math>x^2 + y^2 = 1.</math>

=== Funktsioonivõrrand ===
Et ringjoon ei ole ühegi [[funktsiooni graafik]], ei saa seda esitada [[funktsiooni võrrand]]ina, küll aga saab seda esitada funktsiooni võrrandite paarina
:<math>y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2.}</math>

Ühikringjoone puhul lihtsustub see kujule

:<math>y = \pm \sqrt{1 - x^2}.</math>

=== Parameetriline esitus ===
[[Koordinaadid|Koordinaatide]] abil saab ringjoont kirjeldada ka [[parameetriline esitus|parameetrilises esituses]], kasutades [[polaarkoordinaadid|polaarkoordinaate]]: 
:<math>\begin{align}
 x &= a + r\cos\varphi\\
 y &= b + r\sin\varphi
\end{align}</math>

Koordinaate <math>x</math> ja <math>y</math> avaldatakse [[Parameeter|parameetri]] <math>\varphi</math> kaudu, mille [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]ed on <math>0 \le \varphi < 2 \pi.</math> Ühikringjoone puhul saame:
:<math>\begin{align}
 x &= \cos\varphi\\
 y &= \sin\varphi
\end{align}</math>

{{pooleli}}

==Ringjoon koonuselõikena== 
Ringjoone, kui ühe [[koonus]]elõigetest saadud geomeetrilise kujundi [[ekstsentrilisus]] on 0. Tinglikult võib ette kujutada, et ekstsentrilisuse määramiseks tarvilik juhtsirge (directrix) asub ringjoonest eemal [[lõpmatus]] kauguses. Juhtsirge võib paikneda ükskõik millises suunas lõpmatuses, sest ringjoon pole ju tegelikult ekstsentriline. Ekstsentriliste koonuselõigete puhul asub juhtsirge alati geomeetrilise joone suhtes kindlas suunas, risti joone sümmeetriateljega, kus paiknevad joone 1 või 2 fookust. [[Koonuselõige|Koonuselõikena]] määratletakse ringjoont ainulaadse [[ellips]]i piirjuhuna [[ekstsentrilisus]]ega 0. Sellest vaatepunktist lähtuvalt võib öelda, et ringjoon on selline ellips, mille fookused on samas punktis. Ringjoonel on üks fookus, tema keskpunkt.

==Ringjoon silindri lõikena== 
[[Silinder|Silindri]] lõikamisel tasandiga tekib ringjoon, kui lõige on risti silindri teljega.

==Ringjoone lähendamine hulknurkadega==
Ringjoont võib defineerida ka [[hulknurk|hulknurgana]], mille külgede arv on lõpmatu. Nii käsitles ringjoont [[Vana-Kreeka]] õpetlane [[Archimedes]]. Ta vaatles ringjooneni ulatuvat [[kolmnurk]]a, [[ruut]]u, [[viisnurk]]a jne, külgede arvu järjest suurendades ja leidis, et selline tee viib lõpuks ringjoone endani.

== Ajalugu ==

===Babüloonia===
[[Babüloonia]]s (1900–1600 eKr) kasutati ringjoone pikkuse ja diameetri [[jagatis]]e ([[pii]]) [[lähend]]ina arvu 3.

Babüloonlased oskasid arvutada ka kõõlu pikkust ja ringi [[segment|segmendi]] kõrgust (kõõlu keskpunkti ringjoone punktiga ühendava kõõluga risti oleva sirglõigu pikkust). Sellega panid nad aluse [[kõõlugeomeetria]]le, mida hiljem arendas edasi [[Hipparchos]] ning mille [[Ptolemaios]] asetas "[[Almagest]]i" algusesse.<ref name="FVXHO" />

=== Antiikaeg ===
[[Pilt:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|pisi|"[[Elemendid (Eukleides)|Elementide]]" 1570. aastal ilmunud ingliskeelse tõlke tiitelleht. Tõlkija [[Henry Billingsley]]]]
[[Thales]]ele omistatakse [[Thalese teoreem]], mille järgi [[poolringjoon]]e [[piirdenurk|piirdenurgad]] on [[täisnurk|täisnurgas]].<ref name="TR3W8" />

Esimene teadaolev ringjoone ja ringi definitsioon pärineb [[Platon]]i dialoogist "[[Parmenides (Platon)|Parmenides]]": "Ümmargune on ju küll see, mille äärmised osad on keskpunktist igal pool ühekaugusel."<ref name="sV27b" />

[[Eukleides]]e "[[Elemendid (Eukleides)|Elementide]]" kolmas peatükk räägib ringjoonest ja ringist.<ref name="D8BKQ" />

[[Apollonios Pergest]] kirjutas teose "[[Konika]]", milles ta käsitles muu hulgas [[ellips]]it ja ringjoont [[koonuselõige]]tena, nagu praegugi [[algebraline geomeetria|algebralises geomeetrias]]. Ta toetus Eukleidesele ja [[Aristaios Vanem]]ale, kelle tööd koonuselõigetest pole säilinud.<ref name="QeVlc" />

Apolloniose järgi on saanud nime ka [[Apolloniose probleem]]: konstrueerida kolmele antud ringjoonele [[sirkel ja joonlaud|sirkli ja joonlaua]] abil ringjooned, mis neid puutuvad.

===Renessanss===
Renessansiajal hakati "Elementidele" jälle rohkem tähelepanu pöörama. [[Christoph Clavius]]e väljaandesse on peale hilisantiigist pärineva XIV ja XV raamatu lisatud ka kuueteistkümnes raamat ja muid ulatuslikke täiendusi. Näiteks täiendas ta kahe ringjoone ühise puutuja konstruktsiooni.<ref name="WtB3m" />

==Märkused==
{{viited|allikad=
<ref name="TvCz2">Mõnikord lubatakse ka kaugust 0. Sel juhul saadakse punkt. Seda võib nimetada kõdunud ringjooneks.</ref>
<ref name="tBmkv">[[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]. ''Ebene Geometrie'', 3. trükk, Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, lk 143.</ref>
<ref name="83DDn">{{Netiviide |url=http://veronika.tpt.edu.ee/joonevorrandid/ringjoone_vrrand.html |pealkiri=Arhiivikoopia |vaadatud=2014-03-14 |arhiivimisaeg=2014-02-20 |arhiivimisurl=https://web.archive.org/web/20140220214659/http://veronika.tpt.edu.ee/joonevorrandid/ringjoone_vrrand.html |url-olek=ei tööta }}</ref>
<ref name="FVXHO">[[Christoph Scriba|Christoph J. Scriba]], [[Peter Schreiber]]. ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer)'', Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, lk 19–20.</ref>
<ref name="TR3W8">Christoph J. Scriba, Peter Schreiber. ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer)'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, lk 31–33.</ref>
<ref name="sV27b">[[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]. ''Ebene Geometrie'', Springer, Berlin, Heidelberg, 3. ümbertöötatud ja täiendatud trükk 2007, parandatud trükk 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, lk 145.</ref>
<ref name="D8BKQ">Christoph J. Scriba, Peter Schreiber. ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer)'', Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, lk 49–50.</ref>
<ref name="QeVlc">Scriba, Schreiber. ''5000 Jahre Geometrie'', 2005, lk 40–42.</ref>
<ref name="WtB3m">Scriba, Schreiber, lk 247–248.</ref>
}}

==Vaata ka==
*[[Ring]]

[[Kategooria:Geomeetrilised kujundid]]