Lehekülje Rühmoid lähteteksti vaatamine

{{See artikkel| räägib ühe binaarse algebralise tehtega hulgast; kategooriateooria mõiste kohta vaata artiklit [[Rühmoid (kategooria)]]}}

'''Rühmoid''' ehk '''grupoid''' on [[üldalgebra]]s  [[hulk]] ''M''<ref>''M'' võib olla ka [[tühihulk]]. Sel juhul on tegu [[triviaalne rühmoid|triviaalse rühmoidiga]], mille tehe on [[tühi tehe]].</ref> ('''rühmoidi kandja''') koos sellel defineeritud üheainsa [[binaarne algebraline tehe|binaarse algebralise tehtega]]<ref>Teiste sõnadega, hulk on selle tehte suhtes kinnine.</ref> ''M'' &times; ''M'' &rarr; ''M''. Tehte tulemid kuuluvad definitsiooni põhjal hulka ''M''. Mingeid muid tingimusi tehtele ei esitata. 

Tegemist on ühega kõige lihtsamini defineeritud [[universaalalgebra]]te klassidest.  

Rühmoidi mõiste ning nimetuse ''Gruppoid'' võttis kasutusele [[Heinrich Brandt]] 1926. Nimetuse ''groupoid'' võttis kasutusele [[Øystein Ore]]. [[Jean-Pierre Serre]] hakkas neid oma loengutes [[Harvardi ülikool]]is 1964. aastal nimetama '''magmadeks'''.<ref>Jean-Pierre Serre. ''Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University'', 2. trükk, Springer-Verlag: Berlin Heidelberg New York 1965, ISBN 3-540-55008-9, ptk IV, Free Lie Algebras, lk 18.</ref> See nimetus levis [[Nicolas Bourbaki]] ("[[Éléments de mathématique]]", köide "Algèbre", 1974) eeskujul. Sõna ''magma'' tähendab prantsuse keeles muu hulgas 'abstraktsete asjade segast ja lahtiharutamatut segu'.<ref>[https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/magma/48543 magma], larousse.fr, vaadatud 6.6.2024.</ref>  Veel on neid nimetatud '''operatiivideks''' ja '''binaarideks'''. 

Rühmoidi üldistus on [[pseudorühmoid]] – [[hulk]] koos sellel defineeritud üheainsa [[osaline binaarne algebraline tehe|osalise binaarse algebralise tehtega]].

==Rühmoidide klassid==
Tavaliselt rühmoide üldisel kujul ei uurita, vaid lisatakse tehte omadusi täpsustavaid aksioome. 

*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse  assotsiatiivseks rühmoidiks ehk [[poolrühm]]aks [[parajasti siis, kui]] (∀''x'',''y'',''z''&nbsp;∈&nbsp;M)(''x·y'')·''z''&nbsp;=&nbsp;''x''·(''y·z''), st tema tehe on [[assotsiatiivsus|assotsiatiivne]]. 
*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse [[ühikelemendiga rühmoid]]iks ehk [[ühikuga rühmoid]]iks ehk [[unitaarne rühmoid|unitaarseks rühmoidiks]] [[parajasti siis, kui]]  (∃''e''&nbsp;∈&nbsp;M)(∀''x''&nbsp;∈&nbsp;M)&nbsp;''e·x''&nbsp;=&nbsp;''x·e''&nbsp;=&nbsp;''x'', st tema tehtel on [[neutraalne element]] ([[multiplikatiivne tähistus|multiplikatiivse tähistuse]] puhul [[ühikelement]], tähis 1; [[aditiivne tähistus|aditiivse tähistuse]] puhul [[nullelement]], tähis 0).
* Rühmoidi nimetatakse [[mediaal (algebra)|mediaal]]iks parajasti siis, kui kehtib samasus ''x'''y''''' * '''''u'''z'' = ''x'''u''''' * '''''y'''z'', 
*Rühmoidi (M; ·) ([[multiplikatiivne tähistus]]) nimetatakse [[pöördelementidega rühmoid]]iks [[parajasti siis, kui]]  1&nbsp;∈&nbsp;M&nbsp;∧ (∀''x''&nbsp;∈&nbsp;M)(∃''y''&nbsp;∈&nbsp;M) ''x·y''&nbsp;=&nbsp;''y·x''&nbsp;=&nbsp;1, st on olemas ühikelement ja igal [[element (matemaatika)|elemendil]] on [[pöördelement]].
*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse [[kommutatiivne rühmoid|kommutatiivseks rühmoidiks]] [[parajasti siis, kui]]  (∀''x,y''&nbsp;∈&nbsp;M)''x·y''&nbsp;=&nbsp;''y·x'', st tehe on [[kommutatiivsus|kommutatiivne]].
*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse [[vasakult taandamisega rühmoid]]iks [[parajasti siis, kui]] (∀x,y,z&nbsp;∈&nbsp;M) (z·x&nbsp;=&nbsp;z·y ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y).  
*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse [[paremalt taandamisega rühmoid]]iks [[parajasti siis, kui]] (∀x,y,z&nbsp;∈&nbsp;M) (x·z&nbsp;=&nbsp;y·z ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y).
*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse [[taandamisega rühmoid]]iks [[parajasti siis, kui]] (∀x,y,z&nbsp;∈&nbsp;M) (z·x&nbsp;=&nbsp;z·y ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y) ∧ (x·z&nbsp;=&nbsp;y·z ⇒ x&nbsp;=&nbsp;y).
*Rühmoidi (M; ·) nimetatakse [[jagamisega rühmoid]]iks [[parajasti siis, kui]] (∀x,y&nbsp;∈&nbsp;M)(∃u,v&nbsp;∈&nbsp;M) (x·u&nbsp;=&nbsp;y ∧ v·x&nbsp;=&nbsp;y).

Sagedamini vaadeldavad rühmoidide klassid on: 
* [[kvaasirühm]]ad: [[mittetühi hulk|mittetühjad]] rühmoidid, milles on alati võimalikud [[vasakpoolne jagamine|vasakpoolne]] ja [[parempoolne jagamine]];  
* [[luup (algebra)|luubid]]: [[ühikelement|ühikelemendiga]] kvaasirühmad;  
* [[poolrühm]]ad: rühmoidid, mille tehe on [[assotsiatiivsus|assotsiatiivne]]; 
* [[monoid]]id: [[ühikelement|ühikelemendiga]] poolrühmad; 
* [[rühm (matemaatika)|rühm]]ad: [[pöördelement]]idega monoidid ehk assotsiatiivsed kvaasirühmad (mis osutuvad alati luupideks); 
* [[Abeli rühm]]ad: [[kommutatiivsus|kommutatiivse]] tehtega rühmad.

Saab vaadelda ka [[kommutatiivne poolrühm|kommutatiivseid poolrühmi]] ja [[kommutatiivne monoid|kommutatiivseid monoide]].

==Näited==
* <math>(\N, +)</math>: [[naturaalarvude hulk]] [[liitmine|liitmisega]] ([[kommutatiivne monoid]]) 
* ('''N''', ·): [[naturaalarvude hulk]] [[korrutamine|korrutamisega]] ([[kommutatiivne monoid]])
* <math>(\Z, -)</math>: [[täisarvude hulk]] [[lahutamine|lahutamisega]] (mittekommutatiivne mitteassotsiatiivne ühikelemendiga taandamisega jagamisega rühmoid)
* <math>(\R \setminus \{0\}, /)</math>: [[nullist erinevate reaalarvude hulk]] [[jagamine|jagamisega]] (mittekommutatiivne mitteassotsiatiivne ühikelemendiga taandamisega jagamisega rühmoid)
* naturaalarvude hulk astendamisega, st tehtega <math>a*b = a^b</math> (mittekommutatiivne mitteassotsiatiivne taandamisega rühmoid)
* [[reaalarvude hulk]] [[aritmeetiline keskmine|aritmeetilise keskmise]] võtmisega (kommutatiivne mitteassotsiatiivne taandamisega jagamisega rühmoid)

==Mittenäited==
* ('''N'''; –): [[naturaalarvude hulk]] [[lahutamine|lahutamisega]] ([[pseudorühmoid]])
* ('''N'''; –): [[naturaalarvude hulk]] [[jagamine|jagamisega]] ([[pseudorühmoid]])

== Mitmekordsed tehted ja sulud ==

Rühmoidi tehet võib sooritada mitu korda järjest. Et tehe ei ole üldjuhul assotsiatiivne, kasutatakse tehete sooritamise järjekorra näitamiseks [[sulud|sulgusid]]. Saadakse [[sõne (andmetüüp)|sõne]], mis koosneb rühmoidi elemente tähistavatest sümbolitest ja tasakaalustavatest sulgudest. Kõikvõimalike tasakaalustavate  sulgude sõnede hulka nimetatakse [[Dycki keel]]eks.  Rühmoidi tehte ''n'' sooritamise järjekordade arv võrdub [[Catalani arvud|Catalani arv]]uga <math>C_n</math>. Näiteks <math>C_2=2</math>. Teiste sõnadega,  <math>(ab)c</math> on  <math>a(bc)</math> ainsad rühmoidi tehte kahe sooritamise järjekorrad kolme elemendiga.

Tähistuse lihtsustamiseks ja sulgude arvu vähendamiseks kasutatakse lisakokkuleppeid. Tehte sooritamise eelisjärjekorra märkimiseks kasutatakse tehtemärgi ärajätmist. Näiteks kui rühmoidi tehe on *, siis saab avaldise (''x'' * ''y'') * ''z'' panna kirja lühemal kujul. Lühendamiseks saab kasutada ka [[tühik]]uid. Näiteks avaldise ((''x'' * ''y'') * ''z'') * (''w'' * ''v'') saab kirja panna kujul ''xy''*''z'' * ''wv''. Keerukamate avaldiste puhul muidugi sulgudeta läbi ei saa. Sulgude alternatiiviks on küll näiteks [[prefikstähistus]], kuid see on raskesti jälgitav.

==Rühmoidide homomorfismid==
{{vaata|Rühmoidide homomorfism}}
[[Rühmoidide homomorfism]] ehk rühmoidide morfism on [[kujutus]] <math>f:M\to N</math> rühmoidist <math>M</math> rühmoidi <math>N</math>, mis säilitab rühmoidi tehte:

: <math>f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)</math>,

kus <math>*_M</math> on <math>*_N</math> vastavalt rühmoidi <math>M</math> ja rühmoidi <math>N</math> tehe.


==Vaba rühmoid==
{{vaata|Vaba rühmoid}}
Vaba rühmoidi [[mittetühi hulk|mittetühjal hulgal]]  <math>X</math> moodustavad formaalsed [[avaldis]]ed, mis on saadud hulga <math>X</math> elementide sümbolitest, millele on rakendatud rühmoidi tehet koos sulgudega. Olgu näiteks <math>X=\{a,b,c\}.</math> Siis sisaldab vaba poolrühm üle <math>X</math> muu hulgas elemente
:<math>a,\, b,\, c,\, ab,\, ba,\, (ab)c,\, a(bc),\, (aa)(bb),\, (a(ab))b,\, (ab)(ab),</math> mis on kõik omavahel erinevad.    
 
Formaalselt võib vaba poolrühma üle mittetühja hulga <math>X</math> defineerida kui hulga, millesse kuuluvad kõik lõplikud [[binaarpuu]]d koos iga lehe juurde kirjutatud hulga <math>X</math> elemendiga. Kahe puu <math>A</math> ja <math>B</math> korrutis  <math>AB</math>  on puu, mille juurel on vasakpoolne alampuu <math>A</math> ja parempoolne alampuu <math>B</math>.

==Märkused==
{{viited}}

==Kirjandus==
*A. A. Albert. ''Studies in Modern Algebra'', Washington [[1963]].
*[[Georges Papy]]. ''Einfache Verknüpfungsgebilde: Gruppoide'', Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen [[1969]].
*[[N. Bourbaki]]. ''Algèbre'', [[1970]], ptk 1–3.
* А. Г. Курош. ''Общая алгебра'', М.: Мир [[1973]].
* П. Кон. ''Универсальная алгебра'', М.: Мир 1969.
* Куликов Л. Я. ''Алгебра и теория чисел'', М.: Высшая школа, 1979.
*[[Lothar Gerritzen]]. ''Grundbegriffe der Algebra'', Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden [[1994]], ISBN 3-528-06519-2.
*Th. Ihringer. ''Allgemeine Algebra'',  Heldermann, Lemgo [[2003]], ISBN 3-88538-110-9.

==Välislingid==
{{vikisõnastikus|rühmoid}}

[[Kategooria:Üldalgebra]]