Lehekülje Poolvõre lähteteksti vaatamine

Võreteoorias nimetatakse '''ülemiseks poolvõreks''' (ka '''supreemum-poolvõreks''' või '''sup-poolvõreks''') osaliselt järjestatud mittetühja hulka, milles igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub supreemum ehk ülemine raja<ref name=GR>{{Cite book |last=Grätzer |first=George |title=Lattice Theory: Foundation |publisher=[[Birkhäuser]] |location=Basel|year=2011 |isbn=978-3-0348-0017-4}}</ref> (tähistatakse sageli sümboliga 1). Duaalselt saab defineerida '''alumise poolvõre''' ('''infiimum-poolvõre''' või '''inf-poolvõre''') kui hulga, mille igal kaheelemendilisel alamhulgal leidub alumine raja (tihti tähistatud sümboliga 0). 

Poolvõresid on võimalik defineerida ka algebraliselt<ref name=GR /><ref name=SS/>: poolvõre on algebra <math>(S,*)</math>, millel defineeritud binaarne tehe <math>*</math>, mille rollis on parajasti kas supreemumi (∨) või infiimumi (∧) võtmine, rahuldab mistahes elementide <math>x,y,z\in S</math> korral järgmiseid tingimusi:<blockquote><math>x*(y*z)=(x*y)*z</math> ([[assotsiatiivsus]]),</blockquote><blockquote><math>y*x=x*y</math> ([[kommutatiivsus]]),</blockquote><blockquote><math>x*x=x</math> ([[idempotentsus]]).</blockquote>Kasutades algebralisi struktuure, saab poolvõre defineerida kui [[Poolrühm|poolrühma]], mis rahuldab kommutatiivsuse ja idempotentsuse omadusi.<ref name=SS>{{Cite book |last1=Burris |first1=Stanley |last2=Sankappanavar |first2=H. P. |title=A Course in Universal Algebra |edition=The Millennium Edition |url=https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf |year=2012 |isbn=978-0-9880552-0-9}}</ref>

Tasub märkida, et ülaltoodud definitsioonid on samaväärsed, see tähendab, et olenevalt olukorrast võib kasutada nii hulgateoreetilist kui algebralist definitsiooni.<ref name=LR />

Kui hulk <math>L</math> on ühe ja sama järjestuse suhtes korraga nii ülemine kui alumine poolvõre<ref>{{Netiviide|Autor=|URL=https://ncatlab.org/nlab/show/semilattice|Pealkiri=Semilattice|Väljaanne=nLab|Aeg=|Kasutatud=27.04.2018}}</ref> (hulgateoreetiline definitsioon) või kui selles hulgas kehtivad ülaltoodud binaarsed tehted mainitud tingimustega ja neelduvusseadustega <math>x\land y\lor x=x</math> ja <math>(x\lor y)\land x=x</math><ref name=LR/> (algebraline definitsioon), siis nimetatakse seda hulka [[Võre (matemaatika) |'''võreks''']].

==Omadused==
Poolvõresid <math>S</math> ja <math>F</math> nimetatakse [[Isomorfism#Isomorfism_matemaatikas|isomorfseteks]], kui leiduvad järjestust säilitavad [[Funktsioon_(matemaatika)|kujutused]] <math>f:S</math>→<math>F</math> ja <math>g:F</math>→<math>S</math> nii, et nende kujutuste järjestrakendamisel saame ühikelemendi, ehk <math>gf=1_S</math> ja <math>fg=1_F</math>.<ref name=LR>Valdis Laan, Ülo Reimaa. [https://courses.ms.ut.ee/MTMM.00.039/2017_fall/uploads/Main/kon.pdf "Võreteooria loengukonspekt"]. (2017). </ref>

Alljärgnevad omadused on sõnastatud ülemiste poolvõrede jaoks ning duaalsusprintsiibi abil ka alumiste poolvõrede jaoks. '''Duaalsusprintsiip''' väidab, et kui mingi väide <math>\Phi</math> kehtib kõigi osaliselt järjestatud hulkade korral, siis ka väide <math>\Phi^{op}</math> kehtib kõigi järjestatud hulkade korral, kus viimase tähistuse all mõeldakse kirjutist, kus kõik esialgsed tehted on asendatud vastupidistega (<math>\land \text{ vs }  \lor, \geq \text{ vs } \leq </math> jne).<ref name=LR />

* Kui meil on kaks ülemist poolvõret <math>S</math> ja <math>F</math>, siis on nende vahel võimalik leida sup-homomorfism <math>f:S\rightarrow F</math>, mis on defineeritud järgnevalt:

<blockquote><math>f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)</math>.<ref name=LR/></blockquote>  Duaalselt: kahe alumise poolvõre vahel on võimalik leida inf-homomorfism <math>g:S\rightarrow F</math> seosega 

<blockquote><math>g(x\land y)=g(x)\land g(y)</math></blockquote>

* Igas poolvõres on võimalik leida alampoolvõre:

<blockquote>kui <math>S</math> on ülemine poolvõre, siis alamhulka <math>I\subseteq S</math> nimetatakse ülemiseks alampoolvõreks, kui mistahes <math>a,b\in I</math> korral ka <math>a</math> ∨ <math> b\in I</math>.<ref name=LR/> </blockquote>Duaalselt: kui  <math>R</math> on alumine poolvõre, siis alamhulka <math>J\subseteq R</math> nimetatakse alumiseks alampoolvõreks, kui mistahes <math>c,d\in J</math> korral ka <math>c</math> ∧ <math> d\in J</math>.

* Ülemise poolvõre <math>S</math> '''ideaaliks''' nimetatakse hulka <math>I\subseteq S</math> parajasti siis, kui

<blockquote><math>a\lor b\in I \Longleftrightarrow a\in I</math> ja <math> b\in I</math><ref name=LR/>,</blockquote>ning alumise poolvõre <math>R</math> ideaaliks hulka <math> J\subseteq S</math> parajasti siis, kui <blockquote><math> c\land d\in J \Longleftrightarrow c\in J</math>ja <math> d\in J</math>.</blockquote>

* Ülemist poolvõret nimetatakse '''tõkestatuks''', kui tal leidub vähim element. Mistahes lõplik poolvõre on tõkestatud. Alumist poolvõret nimetatakse tõkestatuks, kui tal leidub suurim element.

== Näited ==

* Täielikult järjestatud hulk on võre, seega samaaegselt ülemine ja alumine poolvõre. Näiteks poolvõre (<math>\mathbb{Z}, \leq</math>) ei ole täielik.<ref name=KK>{{Cite book |last=Kaarli |first=Kalle |title=Sissejuhatus universaalalgebrasse |publisher=Tartu Riiklik Ülikool, algebra ja geomeetria kateeder |year=1989}}</ref>

* Kõik ahelad on poolvõred.<ref name=KK/> Näiteks naturaalarvude hulk <math>\mathbb{N}</math> on inf-poolvõre.
* Poolvõred on <math>M_3 </math> (teemant) ja <math>N_5</math> (pentagon).<ref name=KK/>

==Viited== 
{{Reflist}}

{{Tõlkimine/Ref|En|Semilattice|oldid=698057457}}

[[Kategooria:Matemaatika]]