Lehekülje Poolrühm lähteteksti vaatamine

'''Poolrühm''' (ingl ''semigroup'') on [[rühmoid]], mille [[tehe]] on [[Assotsiatiivsus|assotsiatiivne]].

== Tehe ==
Poolrühmal defineeritud tehe on [[Binaarne tehe|kahekohaline]] [[algebraline tehe]]. Poolrühma elementide <math>x</math> ja <math>y</math> korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:

<math>x\cdot y</math> (või lihtsalt <math>xy</math>).<ref name=":0" />

Seda võib mõista ka kui poolrühma [[Operaator (matemaatika)|operaatori]] rakendamist [[järjestatud paar]]ile <math>(x,y)</math>.<ref name=":0">{{Raamatuviide|autor=J. M. Howie|pealkiri=Fundamentals of Semigroup Theory|aasta=1995|koht=Oxford|kirjastus=Oxford University Print Inc|lehekülg=}}</ref>

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on [[korrutamine]].<ref name=":1" /> Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks [[liitmine]], [[suurima ühisteguri leidmine]], [[vähima ühiskordse leidmine]], [[lahutamine]] jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt <math display="inline">x+y</math>, <math>max(x,y)</math>, <math>min(x,y)</math>, <math>x-y</math> jms.

=== Assotsiatiivsus ===
Assotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse [[võrdus]]t

<math>(xy)z=x(yz)</math>,

kus <math>x, y</math> ja <math>z</math> on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.<ref name=":0" />

Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide <math>x_1x_2...x_n</math>ning indeksite <math>i</math> ja <math>j</math> (<math>i\neq j, 1\leq i,j \leq n-1</math>) kehtib järgmine võrdus:

<math>(x_1x_2...x_i)(x_{i+1}x_{i+2}...x_n)=(x_1x_2...x_j)(x_{j+1}x_{j+2}...x_n)</math>.<ref name=":1">{{Raamatuviide|autor=M. Kilp|pealkiri=Algebra I|aasta=2005|koht=Tartu|kirjastus=Eesti Matemaatika Selts}}</ref>

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma [[Alamhulk|alampoolrühmade]] korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks <math>X, Y</math> ja <math>Z</math>. Siis

<math>(XY)Z=X(YC)</math>.<ref name=":0" />

=== Korrutamine ===
Olgu <math>X</math> poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi <math>x \in X</math> [[Astendamine|astmed]] järgmiselt:

<math>x^n=\underbrace{xxx\cdots x}_{n}</math>.<ref name=":1" />

=== Liitmine ===
Olgu <math>X'</math> poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi <math>x \in X'</math> [[Korrutamine|kordsed]] järgmiselt:

<math>nx=\underbrace{ x+x+\cdots+x }_{n}</math>.<ref name=":1" />

== Elemendid ==
Poolrühma suvalist elementi <math>e</math> nimetatakse [[idempotendiks]], kui <math>e^2=e</math>.<ref name=":1" />

== Eri tüüpi poolrühmi ==

=== Kommutatiivne poolrühm ===
Kui poolrühma suvaliste elementide <math>x</math> ja <math>y</math> korral kehtib võrdus <math>xy=yx</math>, siis nimetatakse seda poolrühma [[kommutatiivseks poolrühmaks]].<ref name=":0" />

=== Vaba poolrühm ===
Poolrühma <math>X</math> elementidest koosnevatest [[Lõplik jada|lõplikest jadadest]] koosnevat struktuuri nimetatakse [[Vaba poolrühm|vabaks poolrühmaks]] (tähistus <math>X'</math>), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.<ref name=":1" />

'''Näide 1.'''

Jadade <math>(abcd),(lmnop)\in X'</math> ning elementide <math>a,b,c,d,l,m,n,o,p\in X</math> korral:

<math>(abcd)(lmnop)=abcdlmnop</math>.

'''Näide 2.'''

Olgu <math>\bigtriangleup\in X</math>. Siis <math>\bigtriangleup\bigtriangleup, \bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup, ...\in X'</math>.

Seega <math>(\bigtriangleup\bigtriangleup)(\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup)=\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup</math>või liitmistehte korral: <math>\bigtriangleup\bigtriangleup+\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup=\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup</math>.

== Seos teiste struktuuridega ==
Poolrühm on üks [[Algebraline struktuur|algebralistest struktuuridest]]. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks [[rühmoid]]is, [[monoid]]is, [[Rühm (matemaatika)|rühmas]] ja [[Abeli rühm]]as.<ref name=":1" />

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.<ref name=":1" />

Lisades aga [[Ühikelement|ühikelemendi]] nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.<ref name=":1" />

== Näited ==
'''Poolrühm on:'''
* [[Naturaalarv|naturaalarvude hulk]] korrutamise suhtes,
* naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
* naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
* naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
* [[täisarvude hulk]] korrutamise suhtes,
* täisarvude hulk liitmise suhtes,
* [[ratsionaalarvude hulk]] korrutamise suhtes,
* ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
* [[reaalarvude hulk]] korrutamise suhtes,
* reaalarvude hulk liitmise suhtes,
* [[vektorruum]] vektorite tavalise liitmise suhtes,
* [[Vasakpoolne korrutamine|vasakpoolse korrutamisega]] rühmoid (ehk vasakpoolne [[tegur]] on alati [[korrutis]]eks, st <math>xy=x</math>).
'''Poolrühm ei ole:'''
* täisarvude hulk lahutamise suhtes,
* vektorruum vektorite korrutamise suhtes.
== Viited ==
{{viited}}

[[Kategooria:Matemaatika]]
[[Kategooria:Algebra]]