Lehekülje Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus lähteteksti vaatamine

'''Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus''' on [[matemaatiline analüüs|matemaatilise analüüsi]] ja täpsemalt [[diferentsiaal- ja integraalarvutus]]e alaliik, mis tegeleb erinevate viiside uurimisega, kuidas defineerida [[diferentsiaaloperaator]]i ''D'' ja [[integraaloperaator]]i ''J'' [[reaalarv]]ulisi või [[kompleksarv]]ulisi astmeid ning analüüsi arendamisega, mis üldistaks klassikalist matemaatilist analüüsi.

:<math>D f(x) = \frac{d}{dx} f(x)\,,</math>

:<math>J f(x) = \int_0^x f(s) \,ds\,,</math>

Käesolevas kontekstis kasutatakse terminit ''aste'' viitamaks korduvale lineaaroperaatori ''D'' rakendamisele funktsioonile ''f''. Täpsemalt nii: <math>D^n(f) = (\underbrace{D\circ D\circ D\circ\cdots}_n)(f) = \underbrace{D(D(D\cdots}_n(f)</math>.

Näiteks võib küsida, mis on mõistlik tõlgendus

:<math>\sqrt{D} = D^\frac12</math>

jaoks, kuivõrd peaks tegu olema [[ruutjuur]]e analoogiga [[diferentsiaaloperaator]]i jaoks. Sellise operaatori näol on tegu lineaaroperaatoriga, mida tuleb rakendada kaks korda, et saavutada efekt, mis on tavalisel diferentseerimisel. Üldisemalt võib vaadelda küsimust, kuidas defineerida 

:<math>D^a</math>

mistahes [[reaalarv]]u ''a'' korral nii, et kui ''a'' on [[täisarv]]ulise väärtusega ''n'' ∈ ℤ, langeb definitsioon kokku klassikalise n-järku diferentseerimisega.

Selliste üldistuste sissetoomise ja arendamise üks motivatsioon on asjaolu, et operaatori ''D'' astmete hulk on {<math>D^a</math>| a ∈ ℝ} puhul pidev poolrühm, millest klassikaline diskreetne n-ide poolrühm {<math>D^n</math>| n ∈ ℤ} korral on esimese alamhulk. Kuna pidevate poolrühmade kohta on välja arendatud korralik teooria, saab seda kasutada ka antud kontekstis.

Murrulised diferentsiaalvõrrandid, mida on ka ebatavalisteks diferentsiaalvõrranditeks nimetatud,<ref name="Zwillinger2014">{{cite book|author=Daniel Zwillinger|title=Handbook of Differential Equations|url=https://books.google.com/books?id=9QLjBQAAQBAJ|publisher=Elsevier Science|isbn=978-1-4832-2096-3}}</ref> on [[diferentsiaalvõrrand]]ite üldistus murrulise matemaatilise analüüsi rakendamise kaudu.

==Ajaloost==
Rakendusmatemaatikas ja matemaatilises analüüsis on murruline tuletis suvalist järku tuletis, kusjuures järk võib olla reaal- või kompleksarvuline. Selline kontseptsioon nägi ilmavalgust kirjas, mille kirjutas [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] [[Guillaume de l'Hôpital]]ile 1695. aastal.<ref name="Derivative">{{Cite journal |last=Katugampola |first=Udita N. |title=A New Approach To Generalized Fractional Derivatives |url=http://www.bmathaa.org/httpdocs/repository/docs/BMAA6-4-1.pdf |journal=[[Bulletin of Mathematical Analysis and Applications]] |volume=6 |issue=4 |pages=1–15 |arxiv=1106.0965 |bibcode=2011arXiv1106.0965K }}{{Kõdulink|aeg=juuni 2022 |bot=InternetArchiveBot |paranduskatse=jah }}</ref> Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus toodi esmakordselt välja ühes [[Niels Henrik Abel]]i varases artiklis,<ref>{{cite journal | title=Oplösning af et par opgaver ved hjelp af bestemte integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solution of a couple of problems by means of definite integrals) | year=1823 | journal=Magazin for Naturvidenskaberne | place=Kristiania (Oslo) | pages=55–68 | author=Niels Henrik Abel | url=https://www.abelprize.no/nedlastning/verker/oeuvres_1881_del1/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_1_kap02_opt.pdf | access-date=2020-11-11 | archive-date=2021-08-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210801223046/https://www.abelprize.no/nedlastning/verker/oeuvres_1881_del1/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_1_kap02_opt.pdf | url-status=dead }}</ref> kus kõik vajaminevad komponendid on olemas: idee murrulist järku diferentseerimisest ja integreerimisest; nendevahelisest suhtest, mis on teineteise pöördtehe; mõistmine, et murrulist järku diferentseerimine ja integreerimine on sisuliselt samade klassikaliste operatsioonide üldistus; ning isegi üldistatud tähistusviis suvalise reaalarvulist järku operaatori jaoks.<ref>{{cite journal|doi=10.1515/fca-2017-0057 | title= Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus |year=2017|journal=Fractional Calculus and Applied Analysis | pages=1068–1075 |author= Igor Podlubny, Richard L. Magin, and Irina Trymorush | volume=20| issue= 5 |arxiv=1802.05441 | s2cid= 119664694 }}</ref>
Sõltumatult rajas kõnealuse valdkonna aluseid ka [[Joseph Liouville]]'i 1832. aasta artikkel.<ref>Ajaloolise ülevaate saamiseks vt väitekirja (prantsuse keeles): Stéphane Dugowson, [http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html ''Les différentielles métaphysiques''] (''histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation''), Thèse, Université Paris Nord (1994)
</ref>
Autodidakt [[Oliver Heaviside]] tõi esmakordselt välja murruliste diferentsiaaloperaatorite praktilise kasutusvõimaluse elektri ülekandeliinide analüüsimiseks umbes 1890. aastal.<ref>Ajaloolise tagasivaate saamiseks antud teemal kuni 20. sajandini, vt: {{cite journal|doi=10.1016/0315-0860(77)90039-8 | title=The development of fractional calculus 1695-1900 |year=1977|journal=Historia Mathematica | pages=75–89|author=Bertram Ross | volume=4}}</ref> Murrulise analüüsi teooria ja rakendused laienesid 19. ja 20. sajandil märkimisväärselt ning mitmed autorid on andnud murruliste tuletiste ja integraalide definitsioone.<ref>{{Cite journal|last1=Valério|first1=Duarte|last2=Machado|first2=José|last3=Kiryakova|first3=Virginia|title=Some pioneers of the applications of fractional calculus|journal=Fractional Calculus and Applied Analysis|volume=17|issue=2|doi=10.2478/s13540-014-0185-1|hdl=10400.22/5491|s2cid=121482200|issn=1314-2224|hdl-access=free}}</ref>

==Murrulise tuletise olemus==

''a''-ndat järku tuletis funktsioonist ''f(x)'' punktis ''x'' on lokaalne omadus vaid juhul, kui ''a'' on täisarv; see ei ole nii mitte-täisarvuliste astmetega tuletiste puhul. Teisisõnu, mitte-täisarvuline murruline tuletis ''f(x)'' punktis ''x=a'' sõltub kõigist ''f'' väärtustest, isegi neist, mis on punktist ''a'' kaugel. Seega võib eeldada, et murrulise tuletise võtmise operatsioon hõlmab endast mingisuguste ääretingimuste seadmist, mis sisaldab informatsiooni funktsiooni kohta kaugemal.<ref>{{Cite web|url=http://www.mathpages.com/home/kmath616/kmath616.htm|title=Fractional Calculus|website=www.mathpages.com}}</ref>

''a''-ndat järku murruline tuletis on sageli defineeritud Fourier või Mellini [[integraalteisendus]]e kaudu.

==Heuristika==
Loomulik on küsida, kas leidub lineaaroperaator ''H'', nn pooltuletis nii, et

:<math>H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) \,.</math>

Osutub, et on olemas selline operaator, ning iga ''a'' > 0 jaoks on olemas operaator ''P'' nii, et

:<math>\left(P ^ a f\right)(x) = f'(x),</math>

või teisiti öeldes, <math>\dfrac{d^n y}{dx^n}</math> definitsiooni saab üldistada kõigile ''n'' reaalarvulistele väärtustele.

Olgu ''f(x)'' defineeritud ''x'' > 0 korral. Koostame [[määratud integraal]]i nullist x-ni. Nimetame selle

:<math> ( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \, dt \,.</math>

Protsessi korrates saame

:<math> \left( J^2 f \right) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) \,dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \, ds \right) \, dt \,,</math>

ning seda võib üldistada edasi.

Cauchy valem kordseks integreerimiseks, täpsemalt

:<math> \left(J^n f\right) ( x ) = \frac{ 1 }{ (n-1) ! } \int_0^x \left(x-t\right)^{n-1} f(t) \, dt \,,</math>

viib otse üldistuse juurde reaalarvuliste ''n'' jaoks.

[[Gammafunktsioon]]i kasutamine, et minna mööda faktoriaali funktsiooni diskreetsest iseloomust, annab meile loomuliku kandidaadi murrulise integraaloperaatori rakenduseks.

:<math> \left(J^\alpha f\right) ( x ) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t) \, dt \,.</math>

See on hästi defineeritud operaator.

Siit on otseselt nähtuv, et operaator ''J'' rahuldab

:<math> \left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) = \left(J^\beta\right) \left(J^\alpha f\right)(x) = \left(J^{\alpha+\beta} f\right)(x) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha+\beta-1} f(t) \, dt \,.</math>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Tõestus
|-
|
:<math>
\begin{align}
\left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) & = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} \left(J^\beta f\right)(t) \, dt \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x \int_0^t \left(x-t\right)^{\alpha-1} \left(t-s\right)^{\beta-1} f(s) \, ds \, dt \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x f(s) \left( \int_s^x \left(x-t\right)^{\alpha-1} \left(t-s\right)^{\beta-1} \, dt \right) \, ds
\end{align}
</math>

kus viimase sammu juures vahetati integreerimise järjekord ja eraldati ''f(s)'' tegur ''t'' integreerimisest. Vahetades muutuja nii, et selleks on ''r'', mis on defineeritud ''t=s+(x-s)r'',

:<math> \left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x \left(x-s\right)^{\alpha + \beta - 1} f(s) \left( \int_0^1 \left(1-r\right)^{\alpha-1} r^{\beta-1} \, dr \right)\, ds</math>

Sisemine integraal on [[beetafunktsioon]], mis rahuldab järgmist tingimust:

:<math>\int_0^1 \left(1-r\right)^{\alpha-1} r^{\beta-1} \, dr = B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}</math>

Asendades tagasi võrrandisse

:<math> \left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha + \beta)} \int_0^x \left(x-s\right)^{\alpha + \beta - 1} f(s) \, ds = \left(J^{\alpha + \beta} f\right)(x)</math>

Vahetades ''α'' ja ''β'' nähtub, et ei ole oluline, mis järjekorras operaatorit ''J'' rakendatakse ning see lõpetab tõestuse.
|}

Seda suhet nimetatakse murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite poolrühma omaduseks. Kahjuks on samaväärne protseduur diferentsiaaloperaatori ''D'' jaoks märkimisväärselt keerulisem, kuid on võimalik näidata, et ''D'' ei ole üldiselt kommutatiivne ega aditiivne.<ref>{{harvnb|Kilbas|Srivastava|Trujillo|2006|page=[{{google books|plainurl=yes|id=LhkO83ZioQkC|page=75}} 75 (Property 2.4)]}}</ref>

==Lihtsa astmefunktsiooni murruline tuletis==
[[File:Half-derivative.svg|right|thumb|320px|Funktsiooni ''f(x)=x'' (sinine joon) pooltuletis (lilla joon) ning esimest järku tuletis (punane joon).]]

[[File:Fractional Derivative of Basic Power Function (2014).gif|right|thumb|320px|Animatsioon näitab astmefunktsioonile ''y=x'' rakendatud tuletise operaatori pidevat ostsileerumist pöörd-tuletise (ehk määramata integraali) (''α''=−1: ''y''= <math>\dfrac{x^2}{2}</math>) ja tuletise (''α''=+1: ''y''=1) vahel.]]

Olgu ''f(x)'' tegur kujul

:<math> f(x)=x^k\,.</math>

Esimest järku tuletis on

:<math> f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\,.</math>

Seda korrates saame üldisema tulemuse

:<math> \frac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\,,</math>

Mis peale [[faktoriaal]]ide asendamist [[gammafunktsioon]]iga viib avaldiseni

:<math> \frac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}, \qquad k \ge 0</math>

''k=1'' ja <math> a=\dfrac{1}{2}</math> jaoks saame pooltuletise funktsioonist ''x'' kui

:<math> \frac{d^\frac12}{dx^\frac12}x=\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma\left(1-\frac12 + 1\right)} x^{1-\frac12}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}x^\frac12 = \frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x^\frac12.</math>

Näitamaks, et see on tõepoolest pooltuletis (kus <math> H^2f(x)=Df(x)</math>), kordame protseduuri ja saame:

:<math>\dfrac{d^\frac12}{dx^\frac12} \dfrac{2x^{\frac12}}{\sqrt{\pi}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\Gamma(1+\frac12)}{\Gamma(\frac12-\frac12+1)}x^{\frac12-\frac12}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)} x^0 = \frac{2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} x^0}{\sqrt{\pi}}=1\,,</math>

(sest <math display="inline">\Gamma \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> ja ''Γ(1)=1'') mis on tõepoolest oodatud tulemus, kui

:<math> \left(\frac{d^\frac12}{dx^\frac12} \frac{d^\frac12}{dx^\frac12}\right)x=\frac d {dx} x = 1\,.</math>

Negatiivse täisarvulise astme k korral ei ole gammafunktsioon defineeritud ning tuleb kasutada järgnevat seost:<ref>{{Citation | last1 = Bologna | first1 = Mauro | title = Short Introduction to Fractional Calculus | publisher = Universidad de Tarapaca, Arica, Chile | url = http://www.uta.cl/charlas/volumen19/Indice/MAUROrevision.pdf  | archive-url = https://web.archive.org/web/20161017232309/http://www.uta.cl/charlas/volumen19/Indice/MAUROrevision.pdf  | url-status = dead }}</ref>

:<math> \frac{d^a}{dx^a}x^{-k}=\left(-1\right)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} \quad\text{ kui } k \ge 0</math>

Ülaltoodud diferentsiaaloperaatori üldistus ei pea olema piiratud reaalarvuliste astmetega. Näiteks (1 + ''i'') järku tuletis võetuna (1 − ''i'') järku tuletisest annab tulemuseks teist järku tuletise. Muutujale ''a'' negatiivsete väärtuste andmine annab tulemuseks integraalid.

Üldise funktsiooni ''f(x)'' ja 0 < ''α'' < 1 jaoks, on täielik murruline tuletis

:<math>D^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{f(t)}{\left(x-t\right)^\alpha} \, dt</math>

Suvalise ''α'' jaoks, kuna gammafunktsioon ei ole defineeritud argumentide jaoks, mille reaalosa on negatiivne täisarv ning mille imaginaarosa on null, on vajalik rakendada murrulist tuletist peale täisarvulise tuletise rakendamist. Näiteks

:<math>D^\frac32 f(x) = D^\frac12 D^1 f(x)=D^\frac12 \frac d {dx} f(x)</math>


==Laplace'i teisendus==

Võime jõuda murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite küsimuseni ka [[Laplace'i teisendus]]e kaudu. Teades, et

:<math>\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)</math>

ja

:<math>\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)</math>

jne, seega väidame

:<math>J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}</math>.

Näiteks

:<math>J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k} </math>

nagu oligi oodata. Tõepoolest, kasutades [[konvolutsioon]]ireeglit

:<math>\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)</math>

ning selguse mõttes kirjutame <math> p(x) = x^{\alpha-1} </math> ja saame

:<math>\begin{align}
\left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{align}</math>

mis on sama, mille saime eelnevalt Cauchy abil.

Laplace'i teisendused "töötavad" suhteliselt väheste funktsioonidega, aga nad on sageli kasulikud murruliste diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

==Murrulised integraalid==

===Riemanni-Liouville'i murruline integraal===
Murrulise analüüsi klassikaline vorm algab Riemanni-Liouville'i integraaliga, mida sisuliselt kirjeldati ka ülal. Riemanni-Liouville'i integraal esineb kahes vormis – ülemine ja alumine. Vaadeldes vahemikku [''a,b''], on need integraalid defineeritud nii

:<math>_aD_t^{-\alpha} f(t)={}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau </math>
:<math>_tD_b^{-\alpha} f(t)={}_tI_b^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_t^b \left(\tau-t\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau </math>

Kus ülemine kehtib ''t>a'' korral ja alumine kehtib ''t<b'' korral.<ref>{{cite book |last=Hermann |first=Richard |date=2014 |title=Fractional Calculus: An Introduction for Physicists |edition=2nd |location=New Jersey |publisher=World Scientific Publishing |page=46 |isbn=978-981-4551-07-6 |doi=10.1142/8934 |bibcode=2014fcip.book.....H}}</ref>

Vastupidi algab Grünwaldi-Letnikovi tuletis hoopis tuletisest, mitte integraalist.

===Hadamardi murruline integraal===
Hadamardi murrulist integraali tutvustas [[Jacques Hadamard]]<ref>{{Cite journal |last=Hadamard |first=J. |date=1892 |title=Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1892_4_8_A4_0.pdf |journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |volume=4 |issue=8 |pages=101–186}}</ref> ning see on antud järgnevalt

:<math>_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t \left(\log\frac{t}{\tau} \right)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}, \qquad t > a\,.</math>

===Atangana-Baleanu murruline integraal===

Kasutades üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni, pakkusid Atangana ja Baleanu välja uue formuleeringu mittelokaalse ja mittesingulaarse tuumaga murrulise tuletise jaoks. Integraal on defineeritud nii

: <math>^{AB}_aD_t^{-\alpha} f(t)=^{AB}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1-\alpha}{AB(\alpha)}f(t)+\frac{\alpha}{AB(\alpha)\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau, </math>

kus ''AB(α)'' on funktsiooni normaliseerimine nii, et ''AB(0)=AB(1)=1''.<ref name="ReferenceA">{{ cite arxiv |eprint=1602.03408|last1=Atangana|first1=Abdon|title=New Fractional Derivatives with Nonlocal and Non-Singular Kernel: Theory and Application to Heat Transfer Model|last2=Baleanu|first2=Dumitru|class=math.GM|year=2016}}</ref>

==Murrulised tuletised==
Erinevalt klassikalistest Newtoni tuletistest defineeritakse murruline tuletis murrulise integraali kaudu.
[[File:Fractionalderivative.gif|thumb|Gaussi murrulised tuletised, interpoleerituna pidevalt funktsiooni ja tema esimese tuletise vahel.]]

===Riemanni-Liouville'i murruline tuletis===
Vastav tuletis arvutatakse, kasutades Langrange'i reeglit diferentsiaaloperaatorite kohta. Arvutades ''n''-dat järku tuletist integraalist järguga (''n'' − ''α''), saadakse ''α''-ndat järku tuletis. On oluline märkida, et ''n'' on vähim täisarv, mis on suurem kui ''α'' (st, ''n=⌈α⌉''). Sarnaselt Riemanni-Liouville'i integraalile on ka tuletisel ülemine ja alumine variant.<ref>{{cite book |editor-last=Herrmann |editor-first=Richard |date=2014 |journal=Fractional Calculus: An Introduction for Physicists |edition=2nd |location=New Jersey |publisher=World Scientific Publishing Co. |page=[https://books.google.fr/books?id=60S7CgAAQBAJ&pg=PA54 54]{{Verify source|date=juuli 2020}}|isbn=978-981-4551-07-6|doi=10.1142/8934 |bibcode=2014fcip.book.....H |title=Fractional Calculus }}</ref>
:<math> _aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aD_t^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aI_t^{n-\alpha} f(t)</math>
:<math> _tD_b^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tD_b^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tI_b^{n-\alpha} f(t)</math>

===Caputo murruline tuletis===
Veel üks võimalus murrulise tuletise arvutamiseks on Caputo murruline tuletis. Seda tutvustas Michele Caputo oma 1967. aasta artiklis.<ref>{{cite journal|last=Caputo|first=Michele|title=Linear model of dissipation whose ''Q'' is almost frequency independent. II|journal=Geophysical Journal International|year=1967|volume=13|issue=5|pages=529–539|doi=10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x|bibcode=1967GeoJ...13..529C|doi-access=free}}.</ref> Erinevalt Riemanni-Liouville'i tuletisest ei ole Caputo definitsiooni abil diferentsiaalvõrrandeid lahendades tarvis defineerida murrulist järku algtingimusi. Caputo definitsiooni illustratsioon, kus taas ''n=⌈α⌉'', on järgnev:

:<math> {}^C D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_0^t \frac{f^{(n)}(\tau) \, d\tau}{\left(t-\tau\right)^{\alpha+1-n}}.</math>

Caputo murrulise tuletise definitsioon:
:<math> {} D^\nu f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\nu)} \int_0^t (t-u)^{(n-\nu-1)}f^{(n)}(u)du \qquad (n-1)<\nu<n</math>
millel on eelis, et ta on null kui ''f(t)'' on konstant ja tema Laplace'i teisendus on väljendatud funktsiooni ja tema tuletise algväärtuste keskväärtustena.

=== Caputo-Fabrizio murruline tuletis===
2015. aasta artiklis esitasid M. Caputo ja M. Fabrizio murrulise tuletise definitsiooni, millel on mittesingulaarne tuum, funktsiooni <math>f(t)</math>  <math>C^1</math> jaoks:

:<math> _a^{CF} D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)\exp\left(-\alpha\frac{t-\tau}{1-\alpha}\right)d\tau,</math>

kus <math>a < 0.</math><ref>{{cite journal |last1= Caputo |first1= Michele |last2= Fabrizio |first2= Mauro |title= A new Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel |url= http://www.naturalspublishing.com/ContIss.asp?IssID=255 |journal= Progress in Fractional Differentiation and Applications |volume= 1 |issue= 2 |pages= 73–85 }}</ref>

===Atangana-Baleanu tuletis===
Sarnaselt integraalile on ka murruline tuletis, mille puhul kasutatakse üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni tuumana.<ref name="ReferenceA"/> Autorid tutvustasid kahte versiooni, üks on Atangana-Baleanu tuletis Caputo mõttes (ABC), mis on antud funktsiooni lokaalse tuletise ja Mittagi-Leffleri funktsiooni konvolutsioon. Teine on Atangana-Baleanu tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes (ABR), mis on sellise funktsiooni konvolutsiooni tuletis, mida ei saa diferentseerida üldistatud Mittag-Leffleri funktsiooni abil.<ref>{{ cite journal |doi=10.1016/j.chaos.2016.02.012 |title=Chaos in a simple nonlinear system with Atangana–Baleanu derivatives with fractional order |journal=Chaos, Solitons & Fractals |volume=89 |pages=447–454 |year=2016 |last1=Atangana |first1=Abdon |last2=Koca |first2=Ilknur |bibcode=2016CSF....89..447A }}</ref> Atangana-Baleanu murruline tuletis Caputo mõttes on defineeritud järgnevalt:

: <math> {}_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{\left(t-\tau\right)^\alpha}{1-\alpha}\right)\,d\tau\,.</math>

Atangana-Baleanu murruline tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes on defineeritud nii:
:<math> {}_a^{ABR} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha}\frac {d} {dt} \int_a^t f(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{\left(t-\tau\right)^\alpha}{1-\alpha}\right)\,d\tau\,.</math>

===Rieszi tuletis===

:<math> \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial^\alpha u}{\partial \left|x\right|^\alpha} \right\}(k) = -\left|k\right|^{\alpha} \mathcal{F} \{u \}(k) </math>

kus ''F'' tähistab Fourier integraalteisendust.<ref>{{Cite journal |last1=Chen |first1=YangQuan |last2=Li |first2=Changpin |last3=Ding |first3=Hengfei  |title=High-Order Algorithms for Riesz Derivative and Their Applications |journal=[[Abstract and Applied Analysis]] |volume=2014 |pages=1–17 |language=en |doi=10.1155/2014/653797|doi-access=free }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Bayın |first=Selçuk Ş.  |title=Definition of the Riesz derivative and its application to space fractional quantum mechanics |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=57 |issue=12 |pages=123501 |arxiv=1612.03046 |doi=10.1063/1.4968819 |bibcode=2016JMP....57l3501B |s2cid=119099201 }}</ref>

===Veel mõningaid variante===
Klassikaliste murruliste tuletiste hulka kuuluvad:
* Grünwaldi-Letnikovi tuletis<ref name=":0">{{Cite journal|last1=de Oliveira|first1=Edmundo Capelas|last2=Tenreiro Machado|first2=José António|title=A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral|url=https://www.hindawi.com/journals/mpe/2014/238459/|journal=Mathematical Problems in Engineering|volume=2014|pages=1–6|language=en|doi=10.1155/2014/238459|doi-access=free}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last=Aslan|first=İsmail|title=An analytic approach to a class of fractional differential-difference equations of rational type via symbolic computation|journal=Mathematical Methods in the Applied Sciences|language=en|volume=38|issue=1|pages=27–36|doi=10.1002/mma.3047|hdl=11147/5562|hdl-access=free}}</ref>
* Sonini-Letnikovi tuletis<ref name=":1" />
* Liouville'i tuletis<ref name=":0" />
*Caputo tuletis<ref name=":0" />
* Hadamardi tuletis<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last1=Ma|first1=Li|last2=Li|first2=Changpin|title=On hadamard fractional calculus|journal=Fractals|volume=25|issue=3|pages=1750033|doi=10.1142/S0218348X17500335|issn=0218-348X}}</ref>
* Marchaud' tuletis<ref name=":0" />
* Rieszi tuletis<ref name=":1" />
* Milleri-Rossi tuletis<ref name=":0" />
*Weyli tuletis<ref>{{Cite book|last=Miller|first=Kenneth S.|title=Fractional Calculus and Its Applications|chapter=The weyl fractional calculus|date=1975|work=Fractional Calculus and Its Applications: Proceedings of the International Conference Held at the University of New Haven, June 1974|pages=80–89|editor-last=Ross|editor-first=Bertram|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=457|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/bfb0067098|isbn=978-3-540-69975-0}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Ferrari|first=Fausto|title=Weyl and Marchaud Derivatives: A Forgotten History|url=https://www.mdpi.com/2227-7390/6/1/6|journal=Mathematics|language=en|volume=6|issue=1|pages=6|doi=10.3390/math6010006|via=|doi-access=free}}</ref><ref name=":0" />
*Erdélyi-Koberi tuletis<ref name=":0" />

Uute murruliste tuletiste hulka kuuluvad:
* Coimbra tuletis<ref name=":0" />
*Katugampola tuletis<ref>{{Cite journal|last1=Anderson|first1=Douglas R.|last2=Ulness|first2=Darin J.|title=Properties of the Katugampola fractional derivative with potential application in quantum mechanics|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=56|issue=6|pages=063502|doi=10.1063/1.4922018|issn=0022-2488}}</ref>
* Hilferi tuletis<ref name=":0" />
* Davidsoni tuletis<ref name=":0" />
* Cheni tuletis<ref name=":0" />
* Caputo-Fabrizio tuletis<ref name=":2">{{Cite journal|last=Algahtani|first=Obaid Jefain Julaighim|title=Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0960077916301059|journal=Chaos, Solitons & Fractals|series=Nonlinear Dynamics and Complexity|language=en|volume=89|pages=552–559|doi=10.1016/j.chaos.2016.03.026|issn=0960-0779}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Caputo|first1=Michele|last2=Fabrizio|first2=Mauro|date=1. jaanuar 2016|title=Applications of New Time and Spatial Fractional Derivatives with Exponential Kernels|journal=Progress in Fractional Differentiation and Applications|volume=2|issue=1|pages=1–11|doi=10.18576/pfda/020101|issn=2356-9336}}</ref>
* Atangana–Baleanu derivative<ref name=":2" /><ref>{{Cite journal|last1=Atangana|first1=Abdon|last2=Baleanu|first2=Dumitru|date=2016|title=New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model|url=http://www.doiserbia.nb.rs/Article.aspx?ID=0354-98361600018A|journal=Thermal Science|language=en|volume=20|issue=2|pages=763–769|doi=10.2298/TSCI160111018A|issn=0354-9836|doi-access=free}}</ref>

==Üldistused==

===Erdélyi-Koberi operaator===

Erdélyi-Koberi operaator on Arthur Erdélyi poolt 1940. aastal<ref>{{cite journal | last= Erdélyi | first= Arthur | authorlink= Arthur Erdélyi | title= On some functional transformations | journal= Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino | volume= 10 | pages= 217–234 | year= 1950–51 | mr= 0047818 }}</ref> ja Hermann Koberi poolt samuti 1940. aastal<ref>{{cite journal | last= Kober | first= Hermann | title= On fractional integrals and derivatives | journal= The Quarterly Journal of Mathematics | volume=os-11 | issue= 1 | pages= 193–211 | year= 1940 | doi= 10.1093/qmath/os-11.1.193 | bibcode= 1940QJMat..11..193K }}</ref> tutvustatud integraaloperaator ning see on antud järgnevalt:

:<math>\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x \left(t-x\right)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) \,dt\,, </math>

mis üldistab Riemanni-Liouville'i integraaloperaatorit ja Weyli integraali.

==Funktsionaalanalüüs==
Funktsionaalanalüüsi kontekstis uuritakse ka üldisemaid funktsiooni ''f(D)'' kujusid, kui astmefunktsioon, sellega tegeletakse spektraalteoorias. Pseudo-diferentsiaaloperaatorite teooria lubab samuti käsitleda ''D'' astmeid. Seal esilekerkivad operaatorid on singulaarsed integraaloperaatorid ning klassikalise teooria kõrgematele järkudele üldistamine kannab Rieszi potentsiaalide nime. Seega on mitu kaasaegset teooriat, mille raames on võimalik rääkida murrulisest matemaatilisest analüüsist.

==Rakendused==

===Murruline massi jäävus===
Nagu kirjeldasid Wheatcraft ja Meerschaert (2008),<ref>{{Cite journal |last1=Wheatcraft |first1=Stephen W. |last2=Meerschaert |first2=Mark M.  |title=Fractional conservation of mass |url=https://www.stt.msu.edu/users/mcubed/fCOM.pdf |journal=Advances in Water Resources |language=en |volume=31 |issue=10 |pages=1377–1381 |doi=10.1016/j.advwatres.2008.07.004 |issn=0309-1708 |bibcode=2008AdWR...31.1377W }}</ref> on tarvis kasutada murrulist massi jäävuse võrrandit, et modelleerida vedeliku voolamist, kui kontrollruumala ei ole piisavalt suur võrreldes materjali heterogeensusega või kui voog kontrollruumala sees on mittelineaarne. Viidatud artiklis on massi jäävuse murruline võrrand toodud järgmiselt:

:<math>-\rho \left(\nabla^\alpha \cdot \vec{u} \right) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha} \rho \left (\beta_s+\phi \beta_w \right ) \frac{\partial p}{\partial t} </math>

===Põhjavee ülesanne===
2013–2014 kirjeldasid Atangana ''et al.'' mõningaid põhjavee voolamise probleeme kasutades murrulist järku tuletise kontseptsiooni.<ref>
{{cite journal
  |first1=Abdon|last1=Atangana
  |first2=Necdet|last2=Bildik
  |title=The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow
  |year=2013
  |journal=Mathematical Problems in Engineering
  |volume=2013
  |pages=1–9
  |doi=10.1155/2013/543026
|doi-access=free
  }}</ref><ref>
{{cite journal
  |first1=Abdon|last1=Atangana
  |first2=P. D.|last2=Vermeulen
  |title=Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation
  |year=2014
  |journal=Abstract and Applied Analysis
  |volume=2014
  |pages=1–11
  |doi=10.1155/2014/381753
|doi-access=free
  }}</ref> Nendes töödes üldistatakse klassikalist Darcy seadust, käsitledes veevoolu kui funktsiooni piesomeetrilise samba kõrguse murrulisest tuletisest. Seda üldistust ja massi jäävuse seadust kasutati, et tuletada uus võrrand põhjavee voolamise kirjeldamiseks.

===Murruline advektsiooni hajumise võrrand===
Kõnealune võrrand on leidnud kasutust, et modelleerida saastunud aine voolamist poorses keskkonnas.<ref>{{Cite journal |last1=Benson |first1=D. |last2=Wheatcraft |first2=S. |last3=Meerschaert |first3=M. |year=2000 |title=Application of a fractional advection-dispersion equation |journal=  Water Resources Research|volume=36 |issue=6 |pages=1403–1412 |bibcode=2000WRR....36.1403B |citeseerx=10.1.1.1.4838 |doi=10.1029/2000wr900031}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Benson |first1=D. |last2=Wheatcraft |first2=S. |last3=Meerschaert |first3=M. |s2cid=16579630 |year=2000 |title=The fractional-order governing equation of Lévy motion |journal=  Water Resources Research|volume=36 |issue=6 |pages=1413–1423 |bibcode=2000WRR....36.1413B |doi=10.1029/2000wr900032}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Wheatcraft |first1=Stephen W. |last2=Meerschaert |first2=Mark M. |last3=Schumer |first3=Rina |last4=Benson |first4=David A.  |title=Fractional Dispersion, Lévy Motion, and the MADE Tracer Tests |journal=[[Transport in Porous Media]] |language=en |volume=42 |issue=1–2 |pages=211–240 |citeseerx=10.1.1.58.2062 |doi=10.1023/A:1006733002131 |s2cid=189899853 |issn=1573-1634}}</ref>

Atangana ja Kilicman laiendasid murrulise advektsiooni hajumise võrrandit. Nende töös üldistati hüdrodünaamilise dispersiooni võrrandit, kasutades varieeruvat järku tuletist. Modifitseeritud võrrand lahendati numbriliselt Crank-Nicolsoni meetodil. Numbriliste simulatsioonide stabiilsus ja koonduvus näitasid, et modifitseeritud võrrand on usaldusväärsem saaste liikumise ennustamiseks, kui varasemad variandid.<ref name=Atangana2014a>
{{cite journal
  |first1=Abdon|last1=Atangana
  |first2=Adem|last2=Kilicman
  |title=On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative
  |journal=Mathematical Problems in Engineering
  |volume=2014
  |year=2014
  |page=9
  |doi=10.1155/2014/542809
|doi-access=free
  }}</ref>

===Murrulised difusioonivõrrandid===
Anomaalseid difusiooniprotsesse keerulistes keskkondades saab edukalt modelleerida murrulist järku difusioonivõrrandite abil.<ref>{{cite journal | last1 = Metzler | first1 = R. | last2 = Klafter | first2 = J. | year = 2000 | title = The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach | url = | journal = Phys. Rep. | volume = 339 | issue = 1| pages = 1–77 | doi=10.1016/s0370-1573(00)00070-3| bibcode = 2000PhR...339....1M }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Mainardi | first1 = F. | authorlink2 = Yuri Luchko | last2 = Luchko | first2 = Y. | last3 = Pagnini | first3 = G. | year = 2001 | title = The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation | arxiv = cond-mat/0702419 | journal = Fractional Calculus and Applied Analysis | volume = 4 | issue = 2| pages = 153–192 | bibcode = 2007cond.mat..2419M }}</ref> Murrulise difusiooni kirjeldava võrrandi võib kirja panna näiteks nii

:<math> \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=-K (-\Delta)^\beta u.</math>

Murrulise tuletise laiendus on varieeruvat järku diferentsiaalvõrrand, ''α'' ja ''β'' viiakse kujule ''α(x,t)'' ja ''β(x,t)''. Selle rakendusi anomaalse difusiooni modelleerimisel võib leida viidetest.<ref name=Atangana2014a/><ref>{{Cite book |journal=Processes with Long-Range Correlations |last1=Gorenflo |first1=Rudolf |last2=Mainardi |first2=Francesco |title=Processes with Long-Range Correlations  |editor-last=Rangarajan |editor-first=G. |series=Lecture Notes in Physics |volume=621 |pages=148–166 |chapter=Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk |doi=10.1007/3-540-44832-2_8 |arxiv=0709.3990 |editor-last2=Ding |editor-first2=M.|bibcode=2003LNP...621..148G |isbn=978-3-540-40129-2 |s2cid=14946568 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Colbrook |first1=Matthew J. |last2=Ma |first2=Xiangcheng |last3=Hopkins |first3=Philip F. |last4=Squire |first4=Jonathan |year=2017 |title=Scaling laws of passive-scalar diffusion in the interstellar medium |journal=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]] |volume=467 |issue=2 |pages=2421–2429 |arxiv=1610.06590 |doi=10.1093/mnras/stx261|bibcode=2017MNRAS.467.2421C |s2cid=20203131 }}</ref>

===Sumbuvuse mudelid===
Murrulisi tuletisi kasutatakse, et modelleerida viskoelastset sumbuvust teatud tüüpi materjalides, nt polümeerides.<ref>{{Cite book |title=Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity |last=Mainardi |first=Francesco |s2cid=118719247  |publisher=[[Imperial College Press]] |isbn=9781848163294 |language=en |doi=10.1142/p614}}</ref>

===PID kontrollerid===
PID kontrollerite üldistamine murruliste järkude kaudu suurendab nende vabadusastet. Uus võrrand, mis seob kontrollmuutuja ''u(t)'' mõõdetud veahinnnagu ''e(t)'' külge, saab kirjutada

:<math>u(t) = K_\mathrm{p} e(t) + K_\mathrm{i} D_t^{-\alpha} e(t) + K_\mathrm{d} D_t^{\beta} e(t)</math>

kus ''α'' ja ''β'' on positiivsed murrulised järgud ja <math>K_p</math>, <math>K_i</math>, ning <math>K_d</math>, kõik mittenegatiivsed, tähistavad koefitsiente vastavalt proportsionaalse, integraaliga, ja tuletisega liikmete jaoks (vahel tähistatud ''P'', ''I'', ja ''D'').<ref>{{Cite journal |last1=Tenreiro Machado |first1=J. A. |last2=Silva |first2=Manuel F. |last3=Barbosa |first3=Ramiro S. |last4=Jesus |first4=Isabel S. |last5=Reis |first5=Cecília M. |last6=Marcos |first6=Maria G. |last7=Galhano |first7=Alexandra F. |date=2010 |title=Some Applications of Fractional Calculus in Engineering |journal=[[Mathematical Problems in Engineering]] |language=en |volume=2010 |pages=1–34 |doi=10.1155/2010/639801 |doi-access=free }}</ref>

===Akustilised lainevõrrandid keerulistes keskkondades===
Helilainete levik keerulistes keskkondades, nt bioloogilises koes, viitab sageli laine levikule mõjuvale segajale, mis allub sageduse ja võimsuse suhtele. Sellist nähtust võib kirjeldada, kasutades põhjuslikku lainevõrrandit, mis hõlmab ka murrulist järku tuletist aja järgi:

:<math>\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0\,.</math>



Vt ka Holm & Näsholm (2011)<ref>{{Cite journal |last1=Holm |first1=S. |last2=Näsholm |first2=S. P. |s2cid=7804006 |year=2011 |title=A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media |journal=Journal of the Acoustical Society of America |volume=130 |issue=4 |pages=2195–2201 |bibcode=2011ASAJ..130.2195H |doi=10.1121/1.3631626 |pmid=21973374}}</ref> ja sealsed viited. Sellised mudelid on seotud laialt levinud hüpoteesiga, et korduvad relaksatsiooniprotsessid mõjutavad lainete sumbuvust keerulistes keskkondades. Seda seost on täpsemalt kirjeldanud Näsholm & Holm (2011)<ref>{{Cite journal |last1=Näsholm |first1=S. P. |last2=Holm |first2=S. |s2cid=10376751 |year=2011 |title=Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations |journal=Journal of the Acoustical Society of America |volume=130 |issue=5 |pages=3038–3045 |bibcode=2011ASAJ..130.3038N |doi=10.1121/1.3641457 |pmid=22087931}}</ref> ja ülevaateartiklis,<ref name="Nasholm2">{{Cite journal |last1=Näsholm |first1=S. P. |last2=Holm |first2=S. |year=2012 |title=On a Fractional Zener Elastic Wave Equation |journal=Fract. Calc. Appl. Anal. |volume=16 |arxiv=1212.4024 |doi=10.2478/s13540-013-0003-1 |bibcode=2012arXiv1212.4024N |s2cid=120348311 }}</ref> ja niisamuti akustilise sumbuvuse artiklis. Vt Holm & Näsholm (2013)<ref name="HolmNasholm2014">{{Cite journal |last1=Holm |first1=S. |last2=Näsholm |first2=S. P. |year=2013 |title=Comparison of fractional wave equations for power law attenuation in ultrasound and elastography |journal=Ultrasound in Medicine & Biology |volume=40 |issue=4 |pages=695–703 |arxiv=1306.6507 |citeseerx=10.1.1.765.120 |doi=10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033 |pmid=24433745|bibcode=2013arXiv1306.6507H |s2cid=11983716 }}</ref>, kus võrreldakse murrulisi lainevõrrandeid astmefunktsioone kasutava mudeliga. Holmi raamat astmefunktsioonidega kirjeldatavast sumbuvusest käsitleb samuti kõnealust teemat detailselt.<ref name="«Holm2019»">{{cite book|last=Holm|first=S.|url=https://www.springer.com/gp/book/9783030149260|title=Waves with Power-Law Attenuation|publisher=Springer and Acoustical Society of America Press|year=2019|isbn=9783030149260}}</ref>

Pandey ja Holm andsid murrulistele diferentsiaalvõrranditele füüsikalise tähenduse, kui tuletasid need füüsikalistest printsiipidest ning tõlgendasid murrulisi järke akustilise keskkonna parameetrite kaudu.<ref name=":3">{{Cite journal|last1=Pandey|first1=Vikash|last2=Holm|first2=Sverre|title=Connecting the grain-shearing mechanism of wave propagation in marine sediments to fractional order wave equations|journal=The Journal of the Acoustical Society of America|volume=140|issue=6|pages=4225–4236|doi=10.1121/1.4971289|pmid=28039990|issn=0001-4966|arxiv=1612.05557|s2cid=29552742}}</ref> Pandey ja Holm tuletasid [[seismoloogia]]s tuntud Lomnitzi seaduse ja [[reoloogia]]s tuntud Nuttingi seaduse, kasutades murrulist matemaatilist analüüsi.<ref>{{Cite journal|last1=Pandey|first1=Vikash|last2=Holm|first2=Sverre|date=23. september 2016|title=Linking the fractional derivative and the Lomnitz creep law to non-Newtonian time-varying viscosity|journal=Physical Review E|volume=94|issue=3|pages=032606|doi=10.1103/PhysRevE.94.032606|pmid=27739858|doi-access=free}}</ref> Nuttingi seadust kasutati modelleerimaks lainete levikut meresetetes, kasutades murrulisi tuletisi.<ref name=":3" />

===Murruline Schrödingeri võrrand kvantfüüsikas===
Murruline Schrödingeri võrrand, mis on murrulise kvantmehaanika põhivõrrand, omab järgnevat kuju:<ref>{{Cite journal |last=Laskin |first=N. |year=2002 |title=Fractional Schrodinger equation |journal=Phys. Rev. E |volume=66 |issue=5 |pages=056108 |arxiv=quant-ph/0206098 |citeseerx=10.1.1.252.6732 |doi=10.1103/PhysRevE.66.056108 |pmid=12513557|bibcode=2002PhRvE..66e6108L |s2cid=7520956 }}</ref><ref>{{Cite book | doi=10.1142/10541|title = Fractional Quantum Mechanics|year = 2018|last1 = Laskin|first1 = Nick| isbn=978-981-322-379-0| citeseerx=10.1.1.247.5449}}</ref>

:<math>i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_{\alpha } \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\alpha}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t)\,.</math>

kus võrrandi lahendiks on [[lainefunktsioon]] kujul ''ψ('''r''', t)'' – kvantmehaaniline tõenäosusamplituud, et osakesel on teatud olekuvektori väärtus '''r''' mistahes ajahetkel ''t'', kus ''ħ'' on [[Plancki nurkkonstant]]. Potentsiaalse energia ''V('''r''', t)'' avaldise täpne kuju sõltub vaadeldavast süsteemist.

<math>\Delta=\dfrac{\partial ^2}{\partial \mathbf{r}^2}</math> on [[Laplace'i operaator]], ja <math>D_\alpha</math> on skaalategur, mille füüsikaline dimensioon on <math>[D_\alpha]=J^{1-\alpha}\cdot m^\alpha\cdot s^-\alpha=kg^{1-\alpha} \cdot m^{2-\alpha} \cdot s^{\alpha-2}</math>, (kus ''α=2'', <math>D^2=\dfrac{1}{2m}</math> osakese jaoks massiga ''m''), ja operaator <math>(-\hbar^2\Delta^{\alpha/2})</math> on 3-mõõtmeline murruline Rieszi tuletis, mis on defineeritud kui

:<math> (-\hbar^2\Delta)^\frac{\alpha}{2}\psi (\mathbf{r},t) = \frac 1 {(2\pi \hbar)^3} \int d^3 p e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (\mathbf{p},t) \,.</math>

Indeks ''α'' on murrulises Schrödingeri võrrandis Lévy indeksi nime all, 1 < ''α'' ≤ 2.

====Varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrand====
Murrulise Schrödingeri võrrandi üldistus on varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrand, mida on samuti kasutatud kvantnähtuste uurimisel:<ref>{{Cite journal |last1=Bhrawy |first1=A.H. |last2=Zaky |first2=M.A. |year=2017 |title=An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations |journal=Applied Numerical Mathematics |volume=111 |pages=197–218 |doi=10.1016/j.apnum.2016.09.009}}</ref>

:<math>i\hbar \frac{\partial \psi^{\alpha(\mathbf{r})}  (\mathbf{r},t)}{\partial t^{\alpha(\mathbf{r})} }= \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\beta(t)}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t),</math>

kus <math>\Delta=\dfrac{\partial ^2}{\partial \mathbf{r}^2}</math> on [[Laplace'i operaator]] ja operaator <math>(-\hbar^2\Delta)^{\beta(t)/2}</math> on varieeruva järguga murruline Rieszi tuletis.

==Viited==
{{Viited}}

===Allikad===
* {{cite book
  |title=Theory and Applications of Fractional Differential Equations
  |last1=Kilbas|first1=Anatolii Aleksandrovich
  |last2=Srivastava|first2=Hari Mohan
  |last3=Trujillo|first3=Juan J.
  |location=Amsterdam, Netherlands
  |publisher=Elsevier
  |year=2006
  |isbn=978-0-444-51832-3
}}

==Lisalugemiseks==
=== Artikleid murrulise matemaatilise analüüsi ajaloost ===
<!-- Order list by year/author -->
* {{cite book
  |first=B.|last=Ross
  |title=Fractional Calculus and Its Applications
 |chapter=A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus
  |journal=Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics
  |volume=457
  |year=1975
  |pages=1–36
|doi=10.1007/BFb0067096
  |series=Lecture Notes in Mathematics
  |isbn=978-3-540-07161-7
  }}
* {{cite journal
  |first=L.|last=Debnath
  |title=A brief historical introduction to fractional calculus
  |journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
  |volume=35|issue=4
  |year=2004
  |pages=487–501
  |doi=10.1080/00207390410001686571
|s2cid=122198977
 }}
* {{cite journal
  |first1=J.|last1=Tenreiro Machado
  |first2=V.|last2=Kiryakova
  |first3=F.|last3=Mainardi
  |title=Recent history of fractional calculus
  |journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation
  |volume=16|number=3
  |year=2011
  |pages=1140–1153 |doi=10.1016/j.cnsns.2010.05.027
|bibcode=2011CNSNS..16.1140M|hdl=10400.22/4149
  |hdl-access=free
  }}
* {{cite journal 
  |first1=J.A.|last1=Tenreiro Machado
  |first2=A.M.|last2=Galhano
  |first3=J.J.|last3=Trujillo
  |title=Science metrics on fractional calculus development since 1966
  |journal=Fractional Calculus and Applied Analysis
  |volume=16|number=2
  |year=2013
  |pages=479–500 |doi=10.2478/s13540-013-0030-y
|hdl=10400.22/3773
  |s2cid=122487513
 |hdl-access=free
  }}
* {{cite journal
  |first1=J.A.|last1=Tenreiro Machado
  |first2=A.M.S.F.|last2=Galhano
  |first3=J.J.|last3=Trujillo
  |title=On development of fractional calculus during the last fifty years
  |journal=Scientometrics
  |volume=98|number=1
  |year=2014
  |pages=577–582 |doi=10.1007/s11192-013-1032-6
|hdl=10400.22/3769
  |s2cid=16501850
 |hdl-access=free
  }}

=== Raamatud ===
<!-- Order list by year/first author) -->
* {{cite book
  |title=The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order
  |series=Mathematics in Science and Engineering
  |volume=V
  |first1=Keith B.|last1=Oldham
  |first2=Jerome|last2=Spanier
  |publisher=Academic Press
  |year=1974
  |isbn=978-0-12-525550-9
}}
* {{cite book
  |title=An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations
  |editor1-first=Kenneth S.|editor1-last=Miller
  |editor2-first=Bertram|editor2-last=Ross 
  |publisher=John Wiley & Sons
  |year=1993
  |isbn=978-0-471-58884-9
}}
* {{cite book
  |title=Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications
  |last1=Samko|first1=S.
  |last2=Kilbas|first2=A.A.
  |last3=Marichev|first3=O.
  |publisher=Taylor & Francis Books
  |isbn=978-2-88124-864-1
  |year=1993
}}
* {{cite book
  |title=Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics
  |editor1-first=A.|editor1-last=Carpinteri
  |editor2-first=F.|editor2-last=Mainardi
  |publisher=Springer-Verlag Telos
  |year=1998
  |isbn=978-3-211-82913-4
}}
*{{cite book|author=Igor Podlubny|title=Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications|url=https://books.google.com/books?id=K5FdXohLto0C|date=27. oktoober 1998|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-053198-4}}
* {{cite book
  |title=Physics of Fractal Operators
  |journal=Physics Today|volume=56|issue=12|pages=65|first1=Bruce J.|last1=West
  |first2=Mauro|last2=Bologna
  |first3=Paolo|last3=Grigolini
  |publisher=Springer Verlag
  |year=2003
  |isbn=978-0-387-95554-4
|bibcode=2003PhT....56l..65W|doi=10.1063/1.1650234}}
* {{cite book
  |url=http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html
  |title=Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.
  |first=F.
  |last=Mainardi
  |publisher=Imperial College Press
  |year=2010
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20120519174508/http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html
  |url-status=dead
  }}
* {{cite book
  |url=https://www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-14003-7
  |title=Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media.
  |first=V.E.|last=Tarasov
  |publisher=Springer
  |year=2010
|isbn=9783642140037
  |series=Nonlinear Physical Science
  }}
* {{cite book
  |title=Basic Theory of Fractional Differential Equations
  |first=Y.|last=Zhou
  |publisher=World Scientific
  |location=Singapore
  |year=2010
|doi=10.1142/9069
  |isbn = 978-981-4579-89-6}}
* {{cite book
  |url=https://www.springer.com/physics/theoretical,+mathematical+%26+computational+physics/book/978-3-642-33910-3
  |title=Fractional Derivatives for Physicists and Engineers
  |journal=Fractional Derivatives for Physicists and Engineers: Background and Theory
  |first=V.V.|last=Uchaikin
  |publisher=Higher Education Press
  |year=2012
|isbn=9783642339103
  |series=Nonlinear Physical Science
  |bibcode=2013fdpe.book.....U
  |doi=10.1007/978-3-642-33911-0
  }}
* {{cite book
  |title=Fractional Calculus: Theory and Applications
  |first=Varsha|last=Daftardar-gejji
  |publisher=Narosa Publishing House
  |year=2013
|isbn = 978-8184873337}}

* {{cite book
  |title=Special Functions in Fractional Calculus and Related Fractional Differintegral Equations
  |first=Hari M|last=Srivastava
  |publisher=World Scientific
  |location=Singapore
  |year=2014
|doi=10.1142/8936
  |isbn = 978-981-4551-10-6}}
* {{cite book
  |url=https://www.crcpress.com/Numerical-Methods-for-Fractional-Calculus/Li-Zeng/p/book/9781482253801
  |title=Numerical Methods for Fractional Calcuus
  |first1=C P|last1=Li
  |first2=F H|last2=Zeng
  |publisher=CRC Press
  |location=USA
  |year=2015
}}

* {{cite book
  |url=https://www.springer.com/gp/book/9783319207704
  |title=Introduction to Fractional and Pseudo-Differential Equations with Singular Symbols
  |first1=S.|last1=Umarov
  |series=Developments in Mathematics
 |publisher=Springer
  |location=Switzerland
  |year=2015
  |volume=41
 |doi=10.1007/978-3-319-20771-1
  |isbn=978-3-319-20770-4
}}

* {{cite book
  |title=Fractional Calculus - An Introduction for Physicists
  |edition=3rd
  |first=R.|last=Herrmann
  |publisher=World Scientific|location=Singapore
  |year=2018
  |doi=10.1142/11107
  |isbn = 978-981-3274-57-0
}}

==Välislingid==
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDifferentialEquation.html Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation."] From [[MathWorld]] &mdash; A Wolfram Web Resource.
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html MathWorld – Fractional calculus]
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html MathWorld – Fractional derivative]
*[http://www.mathpages.com/home/kmath616/kmath616.htm Fractional Calculus] at MathPages
*Eriala-ajakiri: [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis (1998–2014)] and [http://www.degruyter.com/view/j/fca Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)]
*Eriala-ajakiri: [https://archive.today/20120712033445/http://fde.ele-math.com/ Fractional Differential Equations (FDE)]
*Eriala-ajakiri: [https://web.archive.org/web/20180421124535/http://www.nonlinearscience.com/journal_2218-3892.php Communications in Fractional Calculus]
*Eriala-ajakiri: [http://math-frac.org/Journals/JFCA/default.php Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)]
*[http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html www.nasatech.com]
*[http://www.tuke.sk/podlubny/fc_resources.html Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. ]
*[http://www.gigahedron.de GigaHedron – Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc. ]
*[http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html s.dugowson.free.fr]
*[https://web.archive.org/web/20051029113800/http://www.nd.edu/~msen/Teaching/UnderRes/FracCalc.pdf History, Definitions, and Applications for the Engineer] ([[PDF]]), by Adam Loverro, [[University of Notre Dame]]
*[http://www.fracalmo.org/ Fractional Calculus Modelling]
*[http://www.xuru.org/fc/TOC.asp Introductory Notes on Fractional Calculus]
*[https://web.archive.org/web/20120614004922/http://www.ismm.ac.cn/ismmlink/PLFD/index.html Power Law & Fractional Dynamics]
*[http://cronetoolbox.ims-bordeaux.fr The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable]
*{{cite journal | doi = 10.1007/s002200050299  | arxiv = funct-an/9608002 | volume=192 | issue = 2 | title=Operator of Fractional Derivative in the Complex Plane | year=1998 | journal=Communications in Mathematical Physics | pages=261–285 | last1 = Závada | first1 = Petr| bibcode=1998CMaPh.192..261Z | s2cid = 1201395 }}
*{{cite journal | doi = 10.1155/S1110757X02110102 | volume=2 | issue=4 | title=Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators | year=2002 | journal=Journal of Applied Mathematics | pages=163–197 | last1 = Závada | first1 = Petr| arxiv=hep-th/0003126 | s2cid=6647936 }}

[[Kategooria:Matemaatiline analüüs]]