Lehekülje Logaritm lähteteksti vaatamine

{{viita}}
[[Fail:Binary logarithm plot with ticks.svg|pisi|[[Graafik]], mis kujutab logaritmi alusel 2: y=log<sub>2</sub>x]]

[[Arv]] ''x'' on arvu ''b'' '''logaritm alusel''' ''a'', kui <math>b = a^x</math> ehk arv ''x'' on [[astendaja]] (eksponent), millega arvu ''a'' [[astendamine|astendades]] on tulemuseks arv ''b'' ehk
: <math>\log_a{b} = x \, \iff \, b = a^x \ .</math>

Kui ''a'' ja ''b'' on positiivsed [[reaalarv]]ud, siis on log<sub>''a''</sub>''b'' reaalarv. Aluse ''a'' väärtus peab olema kas <math>0<a<1</math> või <math>a>1</math>; tavaliselt kasutatakse alustena arve 10, [[e (arv)|''e'']] või 2. Logaritmi alusel [[e (arv)|''e'']] nimetatakse [[naturaallogaritm]]iks. Logaritmid on defineeritud reaalarvudele ja [[kompleksarv]]udele. Naturaallogaritmi pöördfunktsioon on [[eksponentfunktsioon]] ehk eksponentsiaalfunktsioon.

== Logaritmi omadused ==
: <math> \log_a{1} = 0 \ , \quad \text{ sest }\quad a^0 = 1 \ .</math>
: <math> \log_a{a} = 1 \ , \quad \text{ sest }\quad a^1 = a \ .</math>

log<sub>a</sub>0 ei ole määratud kuna pole olemas sellist arvu'' x'' , mille puhul <math>a^x = 0</math>. [[Logaritmfunktsioon]]i <math>f(x)=log_a{x}</math> graafikul on vertikaalne [[asümptoot]] <math>x=0</math>.

=== Logaritm korrutisest ja jagatisest ===
Logaritmi tähtsamaid omadusi on
: <math> \log_a{bc}=\log_a{b}+\log_a{c}\ ,\quad \text{ sest }\quad a^m \times a^n = a^{m+n} \ , </math> kui <math>b = a^m</math> ja <math>c = a^n</math> .
Samuti 
: <math> \log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}\ ,\quad \text{ sest }\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \ , </math> kui <math>b = a^m</math> ja <math>c = a^n</math> .

=== Logaritm astmest ===
Tähtis omadus on ka astendamise taandumine [[korrutamine|korrutamiseks]]. Logaritmi definitsiooni kohaselt on logaritm arvust ''b'' alusel ''a'' arv, millega arvu ''a'' astendades on tulemuseks arv ''b'':
: <math> b = a^{\log_a{b}} \ .</math> 
Astendades [[võrrand]]i mõlemad pooled arvuga ''n'' :
: <math> b^n = \left(a^{\log_a{b}}\right)^n = a^{n \log_a{b}} \ ,</math>
ja võttes logaritmid, on tulemuseks 
: <math> \log_a \left(b^n \right) = n \log_a{b} \ .</math>

=== Logaritmi aluse vahetamine ===
[[Kalkulaator]]iga töötamisel on kasulik teada, et peale olemasolevate alustega logaritmfunktsioonide (tavaliselt ln <math>x</math> ja log <math>x</math>) saab leida logaritmi ka muudel alustel, kasutades omadust 
: <math>\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}. </math>
Näiteks <math>\log_2{5} = \frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}. </math>

See tuleneb sellest, et logaritmi definitsiooni kohaselt 
: <math>b = a^x \, \iff \, x = \log_a{b}\, ,</math>
kuid ''x'' saab leida ka kasutades alust ''c'' : 
: <math> \log_c{b} = \log_c{a^x} = x \log_c{a} \iff \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} = x </math>
kus a ≠ 1, sest log<sub>''c''</sub> 1 = 0. Iga arv astmes 0 on 1.

== Logaritmi rakendused ==
Mõned logaritmi praktilised rakendused.
*[[Keemia]]s on [[hüdrooniumioon]]i H<sub>3</sub>O<sup>+</sup> (H<sup>+</sup> [[ioon]]i esinemine [[vesi|vees]]) keemilise aktiivsuse logaritm alusel 10 vastandväärtus tuntud kui [[pH]]. H<sub>3</sub>O<sup>+</sup> ioonide aktiivsus neutraalses vees on 10<sup>−7</sup> [[mool]]i [[liiter|liitris]] [[temperatuur]]il 25 °C, ehk pH 7.  
*[[Bell]] on [[mõõtühik]], mis on suhte logaritm alusel 10, näiteks [[võimsus]]te ja [[elektripinge]]te tasemete suhted. Seda kasutatakse [[telekommunikatsioon]]is, [[elektroonika]]s ja [[akustika]]s. Bell on nimetatud [[Alexander Graham Bell]]i järgi. [[Detsibell]]i (0,1 belli) kasutatakse sagedamini.
*[[Maavärin]]a võimsuse [[Richteri skaala]] mõõdab maavärina intensiivsust logaritmilisel skaalal.
*[[Spektromeetria]]s ja [[optika]]s mõõdetakse [[optiline tihedus|optilist tihedust]] ühikuga, mis on seotud logaritmiga.
*[[Astronoomia]]s on [[näiv tähesuurus]] [[taevakeha]] [[näiv heledus|näivat heledust]] logaritmiliselt väljendav arv, kuna [[silm]] reageerib heledusele ligikaudu logaritmiliselt.
*[[Psühhofüüsika]]s väljendab [[Weberi-Fechneri seadus]] logaritmilist seost [[stiimul]]i ja [[taju]] vahel ([[Stevensi seadus]] on siiski täpsem).
*[[Informaatika]]s esinevad logaritmid seostena [[Algoritmiline keerukus|algoritmilises keerukuses]]. Näiteks ''N'' elemendi [[sorteerimine|järjestamine]] kasutades võrdlust, võib aega võtta proportsionaalselt ''N'' × log<sub>10</sub> ''N''. Sarnaselt kasutatakse logaritme alusel 2, et väljendada andmemahtu või [[mälu (arvuti)|mälu]], mis on vaja selleks, et esitada arvu [[kahendsüsteem]]is – ''k'' biti abil saab väljendada 2<sup>''k''</sup> erinevat väärtust, seega iga [[naturaalarv]]u ''N'' saab väljendada kuni (log<sub>2</sub>&nbsp;''N'')&nbsp;+&nbsp;1 bitiga.
*[[Informatsiooniteooria]]s kasutatakse logaritme info hulga mõõtmiseks. Kui sõnumi vastuvõtjal on oodata mistahes sõnumit ''N'' võimalikust sama [[tõenäosus]]ega sõnumist, siis iga sõnumiga saadud info hulk on log<sub>2</sub>&nbsp;''N'' [[bitt]]i.
*[[Intervall (muusika)|Muusikalisi intervalle]] mõõdetakse logaritmiliselt [[pooltoon]]idena. Kahe noodi vaheline intervall pooltoonides on logaritm alusel 2<sup>1/12</sup> sageduse suhtest. (Vaata ka [[MIDI]].)

== Vaata ka ==
*[[Naturaallogaritm]]
*[[Logaritmiline diferentseerimine]]
*[[Logaritmiline skaala]]

[[Kategooria:Funktsioonid]]

== Välislingid ==
*[[https://www.youtube.com/watch?v=vzV50goW_WM]], [[https://www.youtube.com/watch?v=VRzH4xB0GdM]] Professor Roger Bowley selgitab logaritme [[YouTube]]`i kanalis Numberphile.