Lehekülje Lõplikult moodustatud Abeli rühm lähteteksti vaatamine

'''Lõplikult moodustatud Abeli rühm''' on [[Abeli rühm]]  <math>(G,+)</math>, mis on [[lõplikult moodustatud rühm]]. 

[[Lõplkult moodustatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem]] annab nende rühmade täieliku klassifikatsiooni.

== Näiteid ja vastunäiteid==
* Kõik [[lõplik rühm|lõplikud rühmad]] on lõplikult moodustatud. Selle pärast on ka [[lõplik Abeli rühm|lõplikud Abeli rühmad]] lõplikult moodustatud. 
* [[Täisarvude rühm]] <math>(\mathbb{Z},+)</math> on lõplikult moodustatud lõpmatu Abeli rühm. Selle [[moodustaja]] on [[üks|1]]. 
* Lõpliku arvu lõplikult moodustatud rühmade [[otsesumma]] on lõplikult moodustatud Abeli rühm. 
* [[Ratsionaalarvude rühm]] <math>(\mathbb{Q},+)</math> ei ole lõplikult moodustatud. Tõepoolest, oletame, et [[ratsionaalarv]]ud <math>x_1,\ldots,x_s</math> on rühma moodustajad. Sel juhul saab valida [[naturaalarv]]u  <math>w</math>, mis on kõigi arvude <math>x_i</math> [[nimetaja]]tega [[vastastikune lihtsus|vastastikku lihtne]]. Siis ei saa arvu <math>\tfrac{1}{w}</math> esitada  arvude <math>x_1,\ldots,x_s</math> [[täisarvuline lineaarkombinatsioon|täisarvulise lineaarkombinatsioonina]]. 

==Klassifikatsioon==
Lõplikult moodustatud Abeli rühma iga [[alamrühm]] ja iga [[faktorrühm]] on lõplikult moodustatud Abeli rühm. Lõplikult moodustatud Abeli rühmad koos [[rühmade homomorfism]]idega moodustavad [[Abeli kategooria]].

[[Lõpliku astakuga Abeli rühm]] ei pruugi olla lõplikult moodustatud. Näiteks [[ratsionaalarvude rühm]]a 
<math>\mathbb{Q}</math> [[Abeli rühma astak|astak]] on 1, kuid see rühm ei ole lõplikult moodustatud. Teine näide on [[jäägiklassirühm]]a <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> lõpmata paljude eksemplaride [[otsesumma]], mille astak on 0, mis aga ei ole lõplikult moodustatud. 

[[Lõplikult moodustatud Abeli rühmade fundamentaalteoreem]] ütleb, et iga lõplikult moodustatud Abeli rühm  <math>G</math> on [[isomorfsus|isomorfne]] [[otsesumma]]ga [[tsükliline rühm|tsüklilistest rühmadest]], mille [[rühma järk|järk]] on [[algarv]]u [[aste (matemaatika)|aste]], ja [[lõpmatu tsükliline rühm|lõpmatutest tsüklilistest rühmadest]].

[[Kategooria:Üldalgebra]]