Lehekülje Kera lähteteksti vaatamine

[[Pilt:Espera radial 2.svg|200px|right]]
'''Kera''' on [[matemaatika]]s teatav ruumi punktihulk, [[kerapind|kerapinna]] ehk [[sfäär]]i sisemus. [[Elementaarmatemaatika]]s ja tavakeeles mõeldakse ''kera'' all kera "tavalises kolmemõõtmelises ruumis" ehk kolmemõõtmelises [[eukleidiline ruum|eukleidilises ruumis]], kuid matemaatikas üldistatakse kera mõistet ka <math>n</math>-mõõtmelisele eukleidilisele ruumile (kus <math>n</math> on suvaline [[naturaalarv]]) ning veel üldisemalt kõigile [[meetriline ruum|meetrilistele ruumidele]].

== Kera kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ==

Selles alajaotuses nimetatakse '''ruumiks''' kolmemõõtmelist eukleidilist ruumi, nagu sõna ''ruum'' igapäevakeeles ja [[elementaarmatemaatika]]s mõistetakse.

=== Definitsioon ===

'''Kera''' on ruumi antud [[Punkt (matemaatika)|punkt]]ist O  teatud [[kaugus]]el ''r''>0 või lähemal olevate punktide [[hulk]].

Punkti O nimetatakse '''kera keskpunktiks''' ja [[positiivne arv|positiivset]] [[reaalarv]]u ''r'' '''kera [[raadius]]eks'''. Kera on seega punktihulk, milles ühegi punkti ''X'' kaugus kera keskpunktist ''O'' ei ole suurem kui kera raadius ''r'' :

: <math>\{X \in E\ :\ \left|OX\right| \leq r \},</math>

kus <math>E</math> on vaadeldava ruumi kõigi punktide hulk.

'''Kera [[pind|pinnaks]]''' nimetatakse kera keskpunktist O täpselt kaugusel ''r'' olevate punktide hulka. Kera pind on [[sfäär]] ehk kerapind.

'''Kera [[diameeter|läbimõõt]]''' on [[sirglõik]], mis ühendab kaht kerapinna ehk sfääri punkti ja läbib kera keskpunkti. Kõik diameetrid on võrdse [[Pikkus (matemaatika)|pikkus]]ega.

Kera võib defineerida ka sfääri kaudu: kera on sfäär koos punktidega, mille kaugus sfääri keskpunktist on väiksem kui sfääri [[raadius]] ('''kera [[raadius]]'''). Sel juhul langeb kera keskpunkt kokku sfääri keskpunktiga ja kera raadius sfääri raadiusega. Sfäär osutub niiviisi defineeritava kera pinnaks.

Niiviisi defineeritud kera nimetatakse ka '''kinniseks keraks'''. '''Lahtine kera''' erineb kinnisest kerast selle poolest, et kera pinna punktid on vastavast hulgast välja arvatud: 

: <math>\{X \in E\ :\ \left|OX\right| < r \}.</math>

=== Kera kui pöördkeha ===

Kera tekib [[ring]]i pöörlemisel ümber oma [[diameeter|diameetri]], seega on kera [[pöördkeha]]. Et kera piirav pind sfäär on [[pöördpind]], siis kera on '''[[pöördkeha]]'''. Sfääri keskpunkt, raadius ja diameeter on ühtlasi ka kera keskpunktiks, raadiuseks ning diameetriks.

=== Kera tasapinnalised lõiked ===

Kera iga tasapinnaline lõige on ring. Mida lähemal on lõiketasand kera keskpunktile, seda suurem on lõikeringi raadius. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis on lõikeringi raadiuseks kera raadius ja lõiget nimetatakse '''suurringiks'''. Kõiki teisi lõikeid nimetatakse '''väikeringideks'''. Kaht kerapinna punkti, mis ei ole ühe diameetri otspunktideks, läbib ainult üks suurringjoon.

Kera lõikav tasand jaotab ta kaheks '''kera segmendiks''' ja kerapinna kaheks '''sfääri segmendiks'''. Kera segmendi põhjaks on kera lõige. Mõlema segmendi kõrguseks on segmendi põhjaga ristuv lõik põhja keskpunktist sfäärini. Sfääri osa kahe paralleelse lõiketasandi vahel nimetatakse '''kera vööks''' ja kera osa samade tasandite vahel '''kera kihiks'''. Lõiketasandite vaheline kaugus on '''kihi kõrgus'''.

=== Kera puutujatasand ===

[[Tasand]]it, millel on kerapinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse kera '''puutujatasandiks''' selles punktis. Puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.

=== Kera pindala ===
[[Pilt:Sfääri_pindala.png|pisi|Kera pindala arvutamine.]]
Kera [[pindala]] on:

: <math>S = 4 \pi r^2 \, = \pi d^2. \,</math>

Viimane valem on tuletatav [[piirväärtus]]e mõiste abil. Selleks leitakse esiteks sama diameetri ümber pöörleva korrapärase [[kõõlmurdjoon]]e poolt moodustatud pinna pindala ning vaadeldakse seejärel piirvärtus protsessis, kus murdjoone lülide arv lõpmatusele läheneb.

=== Kera ruumala ===

Kera [[ruumala]] võrdub ühe kolmandikuga kera pindala ja raadiuse korrutisest:

: <math>V = \frac{1}{3} \times 4\pi r^2 \times r = \frac{4}{3} \pi r^3.</math>

== n-mõõtmeline kera ==

[[n-mõõtmeline eukleidiline ruum|''n''-mõõtmelises eukleidilises ruumis]] ''E''<sup>''n''</sup> nimetatakse '''lahtiseks keraks''' B<sub>''r''</sub>(''p'') punktist ''p'' ('''kera keskpunktist''') väiksemal kaugusel kui ''r'' ('''kera raadius''') olevate punktide hulka.

== Kera meetrilises ruumis ==

Olgu ''X'' [[meetriline ruum]], kus punktide ''x'' ja ''y'' vaheline [[kaugus]] on ρ(''x'',''y''). Olgu ''a'' meetrilise ruumi fikseeritud element (''a''∈''X'') ja ''r'' positiivne reaalarv (''r''>0). Hulka 

: <math>B(a,r)=\left\{x\in X :\rho(x,a) < r\right\}</math>

nimetatakse '''lahtiseks keraks''' ja hulka 

: <math>\bar{B}(a,r)=\left\{x\in X :\rho(x,a) \le r\right\}</math>

'''kinniseks keraks'''. Elementi <math> a </math> nimetatakse '''kera keskpunktiks''' ja arvu <math>r</math> '''kera raadiuseks'''.

== Vaata ka ==

* [[Sfäär]]

[[Kategooria:Geomeetrilised kujundid]]