Lehekülje Joon lähteteksti vaatamine

{{see artikkel|räägib matemaatika mõistest; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge [[Joon (täpsustus)]]}}

'''Joon''' ehk '''kõver''' ([[inglise keel]]es ''line'', ''curve'') on [[matemaatika]]s kas [[tasandiline joon]], [[Jordani joon]] või ühemõõtmeline kontiinum.<ref name="ka89"/>

Matemaatikas on kasutusel mitu joone mõistet.

== Elementaargeomeetria ==
[[Elementaargeomeetria]]s pole joonel selget definitsiooni. [[Eukleides]]e järgi on joon laiuseta pikkus. Mõnikord defineeritakse joon kui kujundi piir. 

Vaadeldakse teatud tüüpi jooni, näiteks [[sirge]], [[lõik]], [[murdjoon]] ja [[ringjoon]].

Elementaargeomeetrias on põhjalikult uuritud [[koonuselõige|koonuselõikeid]], mõningaid kõrgemat järku [[algebraline joon|algebralisi jooni]] ning mõningaid [[transtsendentne joon|transtsendentseid jooni]], kasutades igal juhtumil spetsiaalseid võtteid.

==Topoloogia==
===Parametriseeritud joon: lõigu kujutus===
{{vaata|Tee (topoloogia)}}
Enamasti defineeritakse joon kui [[pidev kujutus]] [[lõik|lõigust]] [[topoloogiline ruum|topoloogilisse ruumi]]: 
: <math>\gamma\colon [a,b]\to X.</math>
Seejuures võivad jooned olla erinevad isegi juhul, kui nende [[kujutis (matemaatika)|kujutis]]ed langevad kokku.

Niisuguseid jooni nimetatakse parametriseeritud joonteks või, kui <math>[a,b]=[0,1]</math>, [[tee (topoloogia)|tee]]deks (mõnikord samastatakse tee parametriseeritud joonega).

=== Parametriseerimata joon ===
{{vaata|Parametriseerimata joon}}
Mõnikord defineeritakse joon "reparametrisatsiooni täpsusega". Defineeritakse [[ekvivalentsiseos]], mille puhul parametriseeritud jooned 
: <math>\gamma_1\colon [a_1,b_1]\to X</math> и <math>\gamma_2\colon [a_2,b_2]\to X</math>
on ekvivalentsed, kui leidub niisugune [[pidev funktsioon|pidev]] [[monotoonne funktsioon]] <math>h</math>lõigult <math>[a_1,b_1]</math> lõigule <math>[a_2,b_2]</math>, et <math>\gamma_1\equiv\gamma_2\circ h.</math>
Selle seosega määratud [[ekvivalentsiklass]]e nimetatakse [[parametriseerimata joon]]teks ehk lihtsalt joonteks. 

=== Kommentaar ===
See definitsioon vastab paljuski meie intuitiivsele ettekujutusele joonest kui millestki, mis on joonistatud pliiatsit paberilt tõstmata, kuid sellele vastavad paljud kujundid, mida me intuitiivselt jooneks ei pea. Näiteks on võimalik konstrueerida niisugune lõigu pidev kujutus [[tasand]]ile, et selle kujutis täidab [[ruut|ruudu]] ([[Peano joon]]). Veel enam, [[Mazurkiewiczi teoreem]]i järgi on iga [[kompaktne ruum|kompaktne]], [[sidus ruum|sidus]] ja [[lokaalselt sidus ruum|lokaalselt sidus]] [[topoloogiline ruum]] lõigu pidev kujutis. Nii et mitte ainult ruut, vaid ka ''n''-mõõtmeline kuup ([[hüperkuup]]) ja isegi [[Hilberti kuup]] on lõigu pidevad kujutised.
     
Et saada intuitsioonile paremini vastavat mõistet, esitatakse kujutusele lisanõudeid.  

=== Jordani joon  ===
{{vaata|Jordani joon}}
[[Pilt:Osgood curve.svg|pisi|Positiivse [[Lebesgue'i mõõt|Lebesgue'i mõõduga]] Jordani joon tasandil]]

[[Jordani joon]]eks ehk lihtsaks jooneks nimetatakse [[ringjoon]]e või lõigu pideva [[injektiivne kujutus|injektiivse kujutuse]] ([[sisestus]]e) kujutist ruumis. 
Ringjoone puhul nimetatakse kujutist [[kinnine Jordani joon|kinniseks Jordani jooneks]], lõigu puhul [[Jordani kaar]]eks. 

[[Jordani teoreem]] ütleb, et iga kinnine Jordani joon tasandil jagab tasandi "sisemiseks" ja "väliseks" osaks. 

On võimalik konstrueerida tasandiline Jordani joon, mille [[Lebesgue'i mõõt]] on positiivne. Selle Peano joonega analoogse näite ([[Osgoodi joon]]e) konstrueeris [[William Fogg Osgood]]<ref>W. F. Osgood. A Jordan curve of positive area. – ''Trans. Am. Math. Soc.'', [[1903]], kd 4, lk 107–112.</ref>.

== Analüüs ==
[[Matemaatiline analüüs|Matemaatilises analüüsis]] kasutatakse sageli [[sile joon|sileda joone]] ehk [[diferentseeruv joon|diferentseeruva joone]] mõistet. Defineerime kõigepealt [[tasandiline joon|tasandilise joone]], st joone ruumis <math>\mathbb R^2</math>). Olgu <math>x(t)</math> ja <math>y(t)</math> niisugused [[pidevalt diferentseeruv funktsioon|pidevalt diferentseeruvad funktsioonid]] lõigul <math>[a,b]</math>, et <math>(x'(t))^2+(y'(t))^2</math> ei võrdu [[muutuja]] ''t'' ühegi väärtuse korral nulliga. Siis kujutus <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb R^2, t\mapsto (x(t),y(t))</math> annab sileda joone; parametriseerimata joont nimetatakse siledaks, kui teda saab niimoodi parametriseerida. Sileda joone pikkuse saab arvutada valemi 

: <math>\text{L}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \, dt </math>

järgi. 

Selle definitsiooni saab üldistada teistele ruumidele ning teistele [[siledusklass]]idele. 

=== Diferentsiaalgeomeetria ===
{{vaata|Joonte diferentsiaalgeomeetria}}
Kui <math>X</math> on [[sile muutkond]] ([[diferentseeruv muutkond]]), siis sileda joone muutkonnal <math>X</math> saab defineerida kui [[sile kujutus|sileda kujutuse]] ([[diferentseeruv kujutus|diferentseeruva kujutuse]]) <math>\gamma\colon [a,b]\to X</math>, mille [[diferentsiaal]] ei ole kuskil null. Kui muutkonna <math>X</math> siledusklass on <math>k</math>, siis <math>C_k</math>-joon defineeritakse kui joon, mille korral <math>\gamma</math> on <math>k</math> korda pidevalt diferentseeruv kujutus. Kui <math>X</math> on [[analüütiline muutkond]] (näiteks [[eukleidiline ruum]]) ja <math>\gamma</math> on [[analüütiline kujutus]], siis joont nimetatakse [[analüütiline joon|analüütiliseks jooneks]].

Siledaid jooni <math>\gamma_1\colon I\to X</math> ja <math>\gamma_2\colon J\to X</math> nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub niisugune [[difeomorfism]] <math>p\colon I\to J</math> (parameetrivahetus), et <math>\gamma_1=\gamma_2\circ p</math>. Ekvivalentsiklasse selle seose järgi nimetatakse [[parametriseerimata sile joon|parametriseerimata siledateks joonteks]]. 

== Algebraline geomeetria ==
{{vaata|Algebraline joon}}
[[Algebraline joon|Algebralisi jooni]] uuritakse [[algebraline geomeetria|algebralises geomeetrias]]. [[Tasandiline algebraline joon]] on koordinaatidega ''x'', ''y'' punktide hulk, mille annab [[võrrand]]i ''f''(''x'', ''y'') = 0 [[lahend]]ite hulk, kus ''f'' on kahe muutuja [[polünoom]] kordajatega [[korpus (matemaatika)|korpus]]est ''F''. Algebralises geomeetrias ei võeta tavaliselt arvesse, mitte ainult punkte, mille koordinaadid kuuluvad korpusesse ''F'', vaid ka punkte koordinaatidega korpuse ''F'' [[algebraline sulund|algebralisest sulundist]]. Kui ''C'' on niisugune tasandiline algebraline joon, et seda määrava polünoomi kordajad kuuluvad korpusesse ''F'', siis teda nimetatakse jooneks üle korpuse ''F''.

Algebralised jooned saab defineerida ka kõrgema mõõtmega ruumides. Need defineeritakse [[polünoomvõrrandisüsteem]]ide lahendite hulkadena.

Iga tasandilist joont saab täiendada jooneni [[projektiivne tasand|projektiivsel tasandil]]. Kui tasandiline joon on määratud polünoomiga ''f''(''x'', ''y''), mille [[täielik aste]] on ''d'', siis polünoom

: <math>z^d\cdot f(x/z,y/z)</math>,

lihtsustub pärast sulgude avamist [[homogeenne polünoom|homogeenseks polünoomiks]] ''f''(''x'', ''y'', ''z'') astmega ''d''. Niisugused väärtused ''x'', ''y'', ''z'', et ''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0, on tasandilise joone [[homogeensed koordinaadid]], kusjuures lähtejoone punktid on need punktid, mille puhul ''z'' ei võrdu nulliga. Näiteks [[Fermat' joon]] x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup> võtab afiinsel kujul kuju x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = 1. Ülemineku afiinselt joonelt projektiivsele saab üldistada ka kõrgematele mõõtmetele. 

{{pooleli}}



==Vaata ka==
*[[Kõverjoon]]
*[[Kõverus]]

==Viited==
{{viited|allikad=
<ref name="ka89">[[Ülo Kaasik]]. "Matemaatikaleksikon". Tartu: 2003, lk 89</ref>
}}


[[Kategooria:Diferentsiaalgeomeetria]]
[[Kategooria:Geomeetrilised kujundid]]