Lehekülje Alamhulk lähteteksti vaatamine

[[Pilt:Venn A subset B.svg|pisi|[[Venni diagramm]]: ''A'' on ''B'' alamhulk ehk ''B'' on ''A'' ülemhulk]]
[[Matemaatika]]s nimetatakse [[hulk]]a A hulga B '''alamhulgaks''' ehk '''osahulgaks''' ehk '''alamsüsteemiks'''<ref> Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) </ref>, kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B<ref> P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6 </ref>. Alamhulgaks olemist nimetatakse '''sisalduvuseks''' ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkadevahelist [[Binaarne seos|binaarset seost]] ⊂ nimetatakse seetõttu '''sisalduvusseoseks'''. 

Võib ka öelda, et B on A '''ülemhulk''', mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul.

== Omadused  ==
Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:
<ol>
<li> [[Refleksiivsus]]: iga hulk on iseenda alamhulk,
:<math>A \subset A</math>

<li> [[Antisümmeetrilisus]]: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,
:<math>A \subset B \ \wedge \ B \subset A \ \Rightarrow \ B = A</math> 

<li> [[Transitiivsus]]: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.
:<math>A \subset B \ \wedge \ B \subset C \ \Rightarrow \ A \subset C</math>
<li> [[Tühi hulk]] ø on iga hulga alamhulk.
:<math>\varnothing \subset A </math>
</ol>

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on [[osaline järjestus]] kõikide hulkade [[klass (matemaatika)|klassil]], ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse [[vähim element]].

== Tähistusest ==
Kui hulk A on hulga B alamhulk, mis ei ühti hulgaga B, siis nimetatakse seda hulga B [[pärisalamhulk|pärisalamhulgaks]]. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust
: <math> A \subsetneq B </math>.
Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust
: <math> A \subseteq B </math>,
kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus
:<math>B \supset A</math>.
Sel juhul öeldakse, et A on B '''ülemhulk'''.

== Näited ==
* Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
* Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk. 
* Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
* Hulk {1, 2, 4, 5} ''ei ole'' hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
* [[Naturaalarvude hulk]] on [[täisarvude hulk|täisarvude hulga]] pärisalamhulk. 
* [[Naturaalarvude hulk]] on [[ratsionaalarvude hulk|ratsionaalarvude hulga]] pärisalamhulk. 
* [[Ratsionaalarvude hulk]] on [[reaalarvude hulk|reaalarvude hulga]] pärisalamhulk.
* [[Täisarvude hulk]] ''ei ole'' [[naturaalarvude hulk|naturaalarvude hulga]] alamhulk.
* Hulk {<i>x</i> : <i>x</i> on 2000-st suurem [[algarv]]} on hulga {<i>x</i> : <i>x</i> on 1000-st suurem [[paaritu arv]]} pärisalamhulk.
* [[Ruut]]ude hulk on [[romb]]ide hulga pärisalamhulk ja [[ristkülik]]ute hulga pärisalamhulk.
* Rombide hulk ''ei ole'' ristkülikute hulga alamhulk. 
* Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk. 
* [[Tühi hulk]] <math>\varnothing</math> on mis tahes hulga alamhulk. (See on [[tühi tõde]].) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

== Karakteristlik funktsioon ==
Hulga ''B'' alamhulga <math>A</math> saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni <math>\chi_A\ : B\rightarrow\{0,1\}</math> kaudu:
:<math>\forall b\in B, \chi_A(b)=1\Leftrightarrow b\in A</math>.

χ<sub>''A''</sub>(''b'') võrdub 1, kui ''b'' on hulga ''A'' element, vastasel korral võrdub 0.

==Vaata ka==

* [[Potentshulk]] ehk kõigi alamhulkade hulk

== Viited ==

{{viited}}

[[Kategooria:Hulgateooria]]

[[ro:Mulțime#Submulțimi]]