Lehekülje Ümbrus lähteteksti vaatamine

[[Pilt:Neighborhood illust1.svg|pisi|Tasandil on hulk <math>V</math> punkti <math>p</math> ümbruseks parajasti siis, kui <math>V</math> sisaldab mingit ringi keskpunktiga <math>p</math>]]
[[Pilt:Neighborhood illust2.svg|pisi|Ristkülik tasandil ei ole oma nurkadele ümbruseks]]
'''Ümbrus''' on [[matemaatika|matemaatiline]] mõiste, mis määratletakse kõige üldisemal kujul [[topoloogia]]s, kuid mida kasutatakse ka teistes matemaatika harudes, näiteks [[matemaatiline analüüs|matemaatilises analüüsis]]. Ümbrus on matemaatilises analüüsis kasutatava '''&epsilon;-ümbruse''' mõiste üldistus. Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast [[hulk|hulga]]st, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata.

== Definitsioon topoloogilises ruumis ==

Olgu <math>(X; \tau)</math> [[topoloogiline ruum]].

=== Punkti ümbrus ===

Olgu <math>p \in X</math> ja <math>V \subset X</math>. Hulka <math>V</math> nimetatakse '''punkti <math>p</math> ümbruseks''', kui <math>V</math> sisaldab mingit [[lahtine hulk|lahtist hulka]] <math>U</math>, millesse kuulub punkt <math>p</math>.

Punkti kõigi ümbruste hulka nimetatakse selle punkti [[ümbruste süsteem]]iks. Punkti <math>p</math> ümbruste süsteemi tähistatakse <math>\mathfrak{N}_\tau(p)</math> või (kui on selge, missugust topoloogiat vaatleme) <math>\mathfrak{N}(p)</math>.

=== Hulga ümbrus ===

Olgu <math>S \subset X</math> ja <math>V \subset X</math>. Hulka <math>V</math> nimetatakse '''hulga <math>S</math> ümbruseks''', kui <math>V</math> sisaldab mingit lahtist hulka <math>U</math>, mis sisaldab hulka <math>S</math>.

Seega hulk <math>V</math> on hulga <math>S</math> ümbrus parajasti siis, kui <math>V</math> kõigi hulga <math>S</math> punktide ümbrus.

=== Lahtine ümbrus ===

Ümbrus <math>V</math> ei pea ise lahtine olema. Kui <math>V</math> on lahtine hulk, siis nimetatakse teda (punkti <math>p</math> või hulga <math>S</math>) '''lahtiseks ümbruseks'''. Mõnedes allikates mõeldaksegi sõna ''ümbrus'' all aga ''lahtist ümbrust''.

== Punkti &epsilon;-ümbruse ja ümbruse definitsioon meetrilises ruumis ==

=== Punkti &epsilon;-ümbrus ===

Olgu <math>(X; \rho)</math> [[meetriline ruum]], <math>p \in X</math> ja <math>\epsilon > 0</math>. Punkti <math>p</math> '''<math>\epsilon</math>-ümbruseks''' ehk '''lahtiseks [[kera]]ks''' keskpunktiga <math>p</math> ja raadiusega <math>\epsilon</math> nimetatakse siis hulka <math>\{x \in X\ |\ \rho(x,p) < \epsilon\}</math>.

=== Punkti ümbrus ===

Iga meetrilist ruumi võime vaadelda topoloogilise ruumina (vt alajaotust [[Topoloogiline ruum#Meetriline ruum topoloogilise ruumina|Meetriline ruum topoloogilise ruumina]] artiklis [[Topoloogiline ruum]]) ja nii saame meetrilises ruumis kasutada eeltoodud punkti ja hulga ümbruse definitsioone topoloogilises ruumis. Kui aga näiteks punkti ümbruse definitsioon meetrilise ruumi jaoks ilma topoloogia mõistet kasutamata lahti kirjutada, saame järgneva definitsiooni:

Olgu <math>(X; \rho)</math> meetriline ruum, <math>p \in X</math> ja <math>V \subset X</math>. Hulka <math>V</math> nimetatakse punkti <math>p</math> '''ümbruseks''', kui <math>V</math> sisaldab mingit lahtist kera keskpunktiga <math>p</math>.

Lihtne on veenduda, et eeltoodud punkti ümbruse definitsioonis sõnade "lahtine kera" asendamisel sõnadega "[[kinnine kera]]" või lihtsalt sõnaga "[[kera]]" (s. o. lahtine või kinnine kera) saaksime samaväärse definitsiooni.

== Reaalarvu &epsilon;-ümbruse ja ümbruse definitsioon ==

Arvestades, et kõigi reaalarvude hulk <math>\mathbb{R}</math> on meetriline ruum kaugusega <math>\rho(x,y)=\left|x-y\right|</math>, määratletakse reaalteljel punkti &epsilon;-ümbrus ja ümbrus järgnevalt:

Olgu <math>x \in \mathbb{R}</math> ja <math>\epsilon > 0</math>. Punkti <math>x</math> '''<math>\epsilon</math>-ümbruseks''' nimetatakse vahemikku <math>(x-\epsilon,\ x+\epsilon)</math>. Punkti <math>x</math> '''ümbruseks''' nimetatakse iga reaalarvuhulka, mis sisaldab mingi <math>\epsilon</math> korral punkti <math>x</math> <math>\epsilon</math>-ümbrust.

[[Kategooria:Topoloogia]]