Lehekülje Üldistatud lineaarne mudel lähteteksti vaatamine

[[Fail:Logit.svg|pisi|Logistiline regressioon on üks näide üldistatud lineaarsest mudelist. Tunnuste komplekti X kasutatakse Y prognoosimiseks, kusjuures et siduda X ja Y omavahel, tuleb Y teisendada <math>[0...1]</math> skaalale logit-seosefunktsiooniga. Pildil x- ja y-teljed  on kujutatud vastupidi tavapärasele tähistusele.]]
'''Üldistatud lineaarne mudel''' (inglise keeles ''generalized linear model'', lühend '''GLM''') on analüüsimeetod [[Statistika|statistikas]], mis võimaldab mingit uuritavat tunnust Y prognoosida teiste, sõltumatute tunnuste X abil, kusjuures erinevalt [[Lineaarregressioon|lineaarregressioonist]] võimaldab üldistatud lineaarne mudel sobitada lineaarse mudeli ka mittelineaarse seose peale. GLM sobitab lineaarse mudeli uuritavale seosele seosefunktsiooni abil.<ref>{{Netiviide|url=https://www.statisticshowto.com/link-function/|pealkiri=Link function|väljaanne=Statistics How To|vaadatud=13. detsember 2022}}</ref>

== Olemus ==
[[Ühemõõtmeline regressioon|Lihtne lineaarregressioon]] hindab uuritava tunnuse <math>Y</math> väärtust, kui see on [[lineaarkombinatsioon]] sõltumatu tunnuse <math>X</math> väärtustest (vaadeldud väärtused). Sellisel juhul <math>Y</math> allub [[Normaaljaotus|normaaljaotusele]].<ref name=":0">{{Raamatuviide|autor=Dobson, Annette J., Barnett, Adrian G.|pealkiri=An Introduction to Generalized Linear Models, Third Edition|aasta=2008|kirjastus=Chapman and Hall/CRC}}</ref> Olgu meil näiteks lihtne lineaarne mudel, mis hindab õhutemperatuuri põhjal rannas olevate inimeste arvu. Iga 10 °C muutus õhutemperatuuris toob kaasa 1000-pealise muutuse rannasviibijate arvus. Kui on rand, kus inimesi on alguses 50, siis 10 °C languse korral annaks selline lineaarne mudel rannasviibijate arvu hinnanguks võimatu –950 inimest.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab kahte tunnust omavahel siduda nii, et uuritav tunnus <math>Y</math> allub mingisugusele juhuslikule jaotusele, mis ei pea olema normaaljaotus.<ref name=":0" /> Meie näite kohaselt tähendaks see, et õhutemperatuuri <math>X</math> muutudes rannasviibijate arv <math>Y</math> võib muutuda mittelineaarselt.

Jätkates sama näidet, olgu meil nüüd mingisugune üldistatud lineaarne mudel. 10-kraadise õhutemperatuuri languse korral selline mudel ei anna meile hinnanguks mitte –950 aktiivset rannasviibijat, vaid esialgsest 50 inimesest poole vähem ehk 25 rannasviibijat. Samas esialgse temperatuuriga võrreldes 10-kraadise tõusu korral oleks rannas jällegi 1000 inimest rohkem. On näha, et <math>X</math> konstantse muutuse korral <math>Y</math> muutub mittelineaarselt. Selles konkreetses näites <math>Y</math> allub [[Poissoni jaotus|Poissoni jaotusele]].

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab sellist mittelineaarset seost esitada lineaarsel kujul, teisisõnu <math>Y|X</math> oleks justkui lineaarne. Sellist teisendamist üldistatud lineaarses mudelis võimaldab mudelis kasutatav seosefunktisoon (sellest täpsemalt allpool).

== Ülevaade ==
Üldistatud lineaarne mudel eeldab, et uuritav tunnus <math>Y</math> allub mingisugusele [[Jaotus (matemaatika)|jaotusele]], mis kuulub [[Eksponentjaotuste pere|eksponentjaotuste perre]] (nt [[normaaljaotus]], [[eksponentjaotus]], Bernoulli jaotus, [[Poissoni jaotus]]).<ref>{{Netiviide|url=https://sonaveeb.ee/search/unif/dlall/dsall/exponential%20family/1|pealkiri=Exponential family|väljaanne=Sõnaveeb|vaadatud=13. detsember 2022}}{{Kõdulink|aeg=oktoober 2024 |bot=InternetArchiveBot |paranduskatse=jah }}</ref> Sellise jaotuse keskväärtus <math>\mu</math> sõltub sõltumatu tunnuse <math>X</math> väärtustest.

<math>\mathbb{E}(Y|X) = \mu = g^{- 1}(X\beta)</math>, kus:

* <math>\mathbb{E}(Y|X)</math> on <math>Y</math> keskväärtus <math>X</math> korral;
* <math>g</math> on seosefunktsioon;
* <math>X\beta</math> on lineaarkombinatsioon tundmatutest parameetritest <math>\beta</math>.

GLM-i eesmärk on hinnata suurust <math>\mu</math> ehk keskväärtust. Parameetri <math>\beta</math> hindamiseks kasutatakse üldiselt [[Suurima tõepära meetod|suurima tõepära meetodit]], kvaasitõepära või [[Bayesi teoreem|Bayesi meetodeid]].

== Mudeli komponendid ==
Üldistatud lineaarne mudel koosneb kolmest komponendist.<ref>{{Netiviide|url=https://courses.ms.ut.ee/2021/glm/spring/Main/Lectures|pealkiri=Üldistatud lineaarsed mudelid|väljaanne=Tartu Ülikooli matemaatika ja statistika instituut|vaadatud=13. detsember 2022|aeg=2020|autor=Käärik, Meelis}}</ref><ref>{{Netiviide|url=https://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/advmethods/notes/glm.pdf|pealkiri=Generalized Linear Models: Advanced Methods for Data Analysis.|väljaanne=Carnegie Mellon University|aeg=2014|vaadatud=13. detsember 2022}}</ref>

# '''Juhuslik komponent''' (''random component''). Määrab uuritava tunnuse (<math>Y</math>) jaotuse, kui <math>Y</math> sõltub <math>X</math>-st (tähistatakse kui <math>Y|X</math>). See jaotus kuulub eksponentsjaotuste perre. <math>Y|X</math> jaotuse keskväärtus on <math>\mu_i</math>, mille hindamine ongi mudeli eesmärk.
# '''Süsteemne komponent''' (''systematic component''). Määrab mudeli sõltumatute tunnuste <math>X</math> hulga, kasutades selleks lineaarkombinatsiooni <math>\eta_i = x_i^T \beta = x_1 \beta_1 + ... + x_p \beta_p</math>.
# '''Seosefunktsioon''' (''link function''). Seosefunktsioon <math>g</math> on funktsioon, mis seob juhusliku ja süsteemse komponendi, täpsemini <math>Y|X</math> keskväärtuse <math>\mu_i</math> ja <math>\eta_i</math>, moodustades seeläbi [[Lineaarfunktsioon|lineaarfunktsiooni]]: <math>g(\mu_i) = \eta_i</math>.

=== Seosefunktsioon ===
Sõltuvalt uuritavate andmete olemusest, on valida mitme seosefunktsiooni vahel.
{| class="wikitable"
|+Tuntud teoreetilised jaotused ja neile vastavad kanoonilised seosefunktsioonid
!Jaotus
!Kasutusala
!Seosefunktsiooni nimi
!Seosefunktsioon
|-
|[[Normaaljaotus]]
|Lineaarkasvule alluvad andmed.
|Samasusteisendus
|<math>X\beta = \mu</math>
|-
|[[Poissoni jaotus|Poisson]]
|Kindlas aja- või ruumiühikus toimunud sündmuste arv.
|[[Naturaallogaritm|log]]
|<math>X\beta = ln(\mu)</math>
|-
|[[Bernoulli jaotus|Bernoulli]]
|Üksiku jah/ei sündmuse tulem.
|logit
|<math>X\beta = \ln \left(\frac \mu {1-\mu}\right)</math>
|-
|[[Binoomjaotus|Binoom]]
|"Jah" sündmuste arv kõikides toimunud jah/ei sündmustes.
|logit
|<math>X\beta = \ln \left(\frac \mu {n-\mu}\right)</math>
|}

== Vaata ka ==

* [[Üldistatud aditiivne meetod|Üldistatud aditiivne mudel]]
* [[Regressioonanalüüs]]

== Viited ==

[[Kategooria:Regressioonanalüüs]]