Lehekülje Ühisosa lähteteksti vaatamine

[[Pilt:Set_intersection.png|pisi|180px|''[[Venni diagramm]]: hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa A''&nbsp;&cap; ''B'' on märgistatud tumedamalt]]

[[Matemaatika]]s on [[hulk]]ade ''A'' ja ''B'' '''ühisosa''' ehk '''lõige''' ehk '''korrutis''' hulk, mis koosneb kõikidest hulkade ''A'' ja ''B'' ühistest [[element (matemaatika)|element]]idest.

Hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa tähistatakse ''A''&cap;''B''.

Hulkade ühisosa leidmine moodustab mis tahes hulkade hulgal [[binaarne tehe|binaarse tehte]], mingi hulga [[alamhulk]]ade hulgal [[binaarne algebraline tehe|binaarse algebralise tehte]].

== Definitsioon ==

Hulkade ''A'' ja ''B'' ühisosa ''A'' &nbsp;&cap; ''B'' on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka ''A'' ja hulka ''B''.

Sümbolite abil väljendudes,

:<math>A \cap B = \{x \, | \, x \in A \wedge x \in B \}</math>,

kus <math>\wedge</math> tähistab [[konjunktsioon (loogika)|konjunktsioon]]i.

== Näited ==

* Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}.
* Arv 9 ''ei ole'' [[algarv]]ude hulga {2, 3, 5, 7, 11, ...} ja [[paaritu arv|paaritute]] [[naturaalarv]]ude hulga
{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

== Omadused ==

Hulkade ühisosa leidmisel on järgmised omadused:
* [[assotsiatiivsus]] 
:<math>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C</math>
* [[kommutatiivsus]]
:<math>A \cap B = B \cap A</math>
* [[idempotentsus]]
:<math>A \cap A = A</math>

== Hulkade kogumi ühisosa ==

Üldiselt saab rääkida ''mittetühja'' hulkade kogumi

:<math> M = \{ A_i | i \in I \} </math>

ühisosast

:<math>\bigcap M \equiv \bigcap \limits_{i \in I} A_{i} </math>,

kus ''I'' tähistab mõnd [[indeksihulk]]a. Teisisõnu on hulga <math>\cap</math> <math>M</math> elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka <math>A_{i}</math>.

===Nullaarne lõige===
Mõnikord räägitakse ühisosast ka juhul, kui <math>M</math> on tühi hulk{{lisa viide}}.

[[Pilt:Variadic logical AND.svg|pisi|Sulgudes olevate [[argument (matemaatika)|argument]]ide [[konjunktsioon (loogika)|konjunktsioon]]id.<br><br>Mitte ühegi argumendi konjunktsioon on [[tautoloogia]] (võrdle [[tühi korrutis|tühja korrutisega]]); vastavalt on mitte ühegi hulga lõige [[universum (matemaatika)|universum]]]]
Eelpool jäi vaatluse alt välja juhtum, kus ''M'' on [[tühi hulk]] ∅. Kogumi ''M'' lõige on defineeritud kui 
:<math>\bigcap \mathbf{M} = \{x : \forall A \in \mathbf{M}, x \in A\}.</math>
Kui ''M'' on tühi, siis ükski hulk ei ole hulga ''M'' element, nii et jääb küsimus, millised muutuja ''x'' väärtused rahuldavad seda tingimust. Paistab, et kõik võimalikud väärtused. Kui ''M'' on tühi, siis see tingimus on [[tühi tõde]]. Nii et tühja kogumi lõige peaks olema [[universaalhulk]] (lõike leidmise tehte universaalhulk), mida [[hulgateooria]]s [[ZFC]] ei eksisteeri.

Selle raskuse saab osaliselt lahendada, kui piirduda fikseeritud hulga ''U'' ([[universum (matemaatika)|universum]]) [[alamhulk]]adega. Sel juhul võib hulga ''U'' alamhulkade kogumi lõike defineerida nii:
:<math>\bigcap \mathbf{M} = \{x \in U : \forall A \in \mathbf{M}, x \in A\}.</math>
Kui nüüd ''M'' on tühi, siis raskust ei teki. Lõige on lihtsalt kogu universum ''U'', mis on lõike leidmise tehte [[ühikelement]].

==Ühisosata hulgad==
{{vaata|Ühisosata hulgad}}
Kui <math>\cap</math> <math>M</math> on tühi hulk, siis öeldakse, et hulga ''M'' elemendid on [[ühisosata hulgad]]. Kui ''A''&cap;''B'' on tühi hulk, siis ''A'' ja ''B'' on ühisosata hulgad.

== Vaata ka ==
* [[Lõikegraaf]]
* [[Konjunktsioon (loogika)|Konjunktsioon]]
* [[Naiivne hulgateooria]]
* [[Ühend]]
* [[Täiend (hulgateooria)|Täiend]]
* [[Hulkade vahe]]
* [[Sümmeetriline vahe]]
* [[Võimsus (hulgateooria)|Võimsus]]
* [[Itereeritud binaarne tehe]]
* [[MinHash]]

[[Kategooria:Hulgateooria]]